Activités numériques II : Exercice 12 première année secondaire

a) $\sqrt{2}<2$ donc $\sqrt{2}-2<0$ d'où $\left|{\sqrt{2}-2}\right|=2-\sqrt{2}$
$3>\sqrt{2}$ donc  $3-\sqrt{2}>0$ d'où $\left|{3-\sqrt{2}}\right|=3-\sqrt{2}$ alors :
$a=\left|{\sqrt{2}-2}\right|+\left|{3-\sqrt{2}}\right|-2$
$=2-\sqrt{2}+3-\sqrt{2}-2$
$=3-2\sqrt{2}$
$b=\left({1+\sqrt{2}}\right)^2$
$=1^2+2\times 1\times \sqrt{2}+\left({\sqrt{2}}\right)^2$
$=1+2\sqrt{2}+2$
$=3+2\sqrt{2}$

b) $$\begin{align*} ab&=\left({3-2\sqrt{2}}\right)\left({3+2\sqrt{2}}\right) \\ &=3^2-\left({2\sqrt{2}}\right)^2 \\ &=9-2^2\times \sqrt{2}^2=9-8=1 \\ \end{align*}$$ $$\begin{align*} &\frac{\left({a^{-2}b}\right)^2a^4}{a^{-3}b^{-1}} \\ &\;=\frac{a^{-4}b^2a^4}{a^{-3}b^{-1}} \\ &\;=a^{-4+4+3}b^{2+1} \\ &\;=a^3b^3=\left({ab}\right)^3 \end{align*}$$

c) $ab=1$ donc
$\frac{\left({a^{-2}b}\right)^2a^4}{a^{-3}b^{-1}}=\left({ab}\right)^3 =1^3=1$

a) $$\begin{align*} X^2 &=\left({4-\sqrt{5}}\right)^2 \\ &=4^2-2\times 4\times \sqrt{5}+\sqrt{5}^2 \\ &=16-8\sqrt{5}+5 \\ &=21-8\sqrt{5} \\ Y^2 &=\left({2-\sqrt{5}}\right)^2 \\ &=2^2-2\times2\times\sqrt{5}+\sqrt{5}^2 \\ &=4-4\sqrt{5}+5 \\ &=9-4\sqrt{5} \end{align*}$$

b) $$\begin{align*} &\sqrt{21-8\sqrt{5}}-\sqrt{9-4\sqrt{5}} \\ &=\sqrt{\left({4-\sqrt{5}}\right)^2}-\sqrt{\left({2-\sqrt{5}}\right)^2} \\ &=\left|{4-\sqrt{5}}\right|-\left|{2-\sqrt{5}}\right| \\ &=\left({4-\sqrt{5}}\right)-\left({\sqrt{5}-2}\right) \\ &=4-\sqrt{5}-\sqrt{5}+2=6-2\sqrt{5}       \end{align*}$$