Activités numériques II : Exercice 22 première année secondaire
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Exercice 22 --- (id : 1134)
correction
$a=\sqrt{125}-2\sqrt{20}+\sqrt{6}\times\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ et $b=2\sqrt{5}(1-\sqrt{5})+2\left({4-\sqrt{\dfrac{5}{4}}}\right)$
1
$a=\sqrt{125}-2\sqrt{20}+\sqrt{6}\times\sqrt{\dfrac{2}{3}}$ $=\sqrt{25\times5}-2\sqrt{4\times5}+\sqrt{2\times3}\times\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ $=5\sqrt{5}-4\sqrt{5}+\sqrt{2}\sqrt{3}\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ $=\sqrt{5}+2$
$b=2\sqrt{5}(1-\sqrt{5})+2\left({4-\sqrt{\dfrac{5}{4}}}\right)$ $=2\sqrt{5}-10+8-2\times\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$ $=2\sqrt{5}-2-2\times\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ $=2\sqrt{5}-2-\sqrt{5}$ $=\sqrt{5}-2$
$b=2\sqrt{5}(1-\sqrt{5})+2\left({4-\sqrt{\dfrac{5}{4}}}\right)$ $=2\sqrt{5}-10+8-2\times\dfrac{\sqrt{5}}{\sqrt{4}}$ $=2\sqrt{5}-2-2\times\dfrac{\sqrt{5}}{2}$ $=2\sqrt{5}-2-\sqrt{5}$ $=\sqrt{5}-2$
2
a
$ab=(\sqrt{5}+2)(\sqrt{5}-2)$ $=\sqrt{5}^2-2^2=5-4=1$ donc $a$ et $b$ sont inverses (c-à-d l'un est l'inverse de l'autre)
b
$\dfrac{1}{a}-\dfrac{1}{b}$ $=b-a=(\sqrt{5}-2)-(\sqrt{5}+2)$ $=\sqrt{5}-2-\sqrt{5}-2=-4$
c
$a^{19}b^{19}=(ab)^{19}=1^{19}=1.$
$a^{19}(-b)^{19}=a^{19}(-1)^{19}b^{19}=-1\times a^{19}b^{19}=-1\times 1=-1.$
$a^{19}(-b)^{19}=a^{19}(-1)^{19}b^{19}=-1\times a^{19}b^{19}=-1\times 1=-1.$