Arithmetique : Exercice 9 2ème année secondaire
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Exercice 9 --- (id : 573)
correction
$A=17p+8$ et $B=17q+12$ où $p$ et $q$ sont deux entiers naturels
🔷$A+B=17(p+q)+20$ $=17(p+q)+17+3=17(p+q+1)+3$
Donc $A+B=17k+3$ où $k$ est un entier naturel
Conclusion: $3$ est le reste de la division euclidienne de $A+B$ par $17$ (car $0\leqslant 3<17$) $$\begin{align*} 🔷AB&=(17p+8)(17q+12)\\ &=17^2pq+17p\times 12+17q\times 8+96 \\ &=17(17pq+12p+8q)+17\times 5+11 \\ &=17(17pq+12p+8q+5)+11 \\ &=17k+11\; où \; k\in \Bbb N\; et\; 0\leqslant 11<17 \end{align*}$$ Conclusion :$11$ est le reste de la division euclidienne de $AB$ par $17$. $$\begin{align*} 🔷A^2&=(17p+8)^2 \\ &=(17p)^2+17p\times 16+64 \\ &=17^2p^2+17p\times 16+17\times 3+13 \\ &=17(17p^2+16p+3)+13 \\ &=17k+13\; où \; k=17p^2+16p+3\in \Bbb N\; et\; 0\leqslant 13<17 \end{align*}$$
🔷$A+B=17(p+q)+20$ $=17(p+q)+17+3=17(p+q+1)+3$
Donc $A+B=17k+3$ où $k$ est un entier naturel
Conclusion: $3$ est le reste de la division euclidienne de $A+B$ par $17$ (car $0\leqslant 3<17$) $$\begin{align*} 🔷AB&=(17p+8)(17q+12)\\ &=17^2pq+17p\times 12+17q\times 8+96 \\ &=17(17pq+12p+8q)+17\times 5+11 \\ &=17(17pq+12p+8q+5)+11 \\ &=17k+11\; où \; k\in \Bbb N\; et\; 0\leqslant 11<17 \end{align*}$$ Conclusion :$11$ est le reste de la division euclidienne de $AB$ par $17$. $$\begin{align*} 🔷A^2&=(17p+8)^2 \\ &=(17p)^2+17p\times 16+64 \\ &=17^2p^2+17p\times 16+17\times 3+13 \\ &=17(17p^2+16p+3)+13 \\ &=17k+13\; où \; k=17p^2+16p+3\in \Bbb N\; et\; 0\leqslant 13<17 \end{align*}$$