Arithmetique : Exercice 12 2ème année secondaire

1) $a-3+7-b+5=a-b+9$
$a$ et $b$ sont des chiffres donc:
$\begin{cases} 0\leqslant a \leqslant 9\\ 0\leqslant b \leqslant 9 \end{cases}$ $\iff \begin{cases} 0\leqslant a \leqslant 9\\ -9\leqslant -b \leqslant 0 \end{cases}$ $\Longrightarrow -9\leqslant a-b\leqslant 9$ $\Longrightarrow 0\leqslant a-b+9\leqslant 18$
L'entier naturel $n$ est divisible par 11 équivaut $a-b+9$ est divisible par 11 et $0\leqslant a-b+9\leqslant 18$ $\iff a-b+9=0$ ou $a-b+9=11$ $\iff a-b=-9$ ou $a-b=2$

2) 🔶$n$ est divisible par 11 et $ a > b $ équivaut $a-b+9$ est divisible par 11 et $ a-b >0 $$\iff a-b=2$
🔶$a$ et $b$ sont des chiffres donc:
$\begin{cases} 0\leqslant a \leqslant 9\\ 0\leqslant b \leqslant 9 \end{cases}$ $\Longrightarrow 0\leqslant a+b \leqslant 18$ $\Longrightarrow 6\leqslant a+b+6 \leqslant 24$
$n$ divisible par $9$ $\iff a+3+7+b+5$ $=a+b+15$ est divisible par $9$ et $6\leqslant a+b+6\leqslant 24$ $\iff a+b+6$ est divisible par $9$ et $6\leqslant a+b+6\leqslant 24$ $\iff a+b+6=9$ ou $a+b+6=18$ $\iff a+b=3$ ou $a+b=12$
🔶$n$ est divisible par $11$ et par $9\iff$ $\begin{cases} a-b=2 \\ a+b=3\end{cases}$ ou $\begin{cases} a-b=2 \\ a+b=12\end{cases}$ $\iff \begin{cases} 2a=5 \\ a+b=3\end{cases}$ ou $\begin{cases} 2a=14 \\ a+b=12\end{cases}$ $\iff\begin{cases} a=\dfrac{5}{2}\notin \Bbb N \\ a+b=3\end{cases}$ ou $\begin{cases} a=7 \\ b=12-a\end{cases}$ $\iff a=7$ et $b=5$
Conclusion : $n=5b73a$ est divisible par $11$ et par $9$ $\iff a=7$ et $b=5$