Arithmetique : Exercice 15 2ème année secondaire

1) b est un chiffre donc $b\in \left\{{0;1;2;3;4;5;6;7;8;9}\right\}$
$y=1513b$ est divisible par $8$ $\iff $ le nombre $13b$ est divisible par $8$ $\iff 100+30+b$ est divisible par $8$ $\iff 130+b$ est divisible par $8$ $\iff 128+2+b$ est divisible par 8 $\iff 2+b $ est divisible par $8$ (car $128=16\times 8$) $\iff \boxed{b=6}$

2) $x+y$ est divisible par 5 $\iff$ le chiffre des unités de $x+y$ est égal à $0$ ou $5$ $\iff$ le chiffre des unités de $2+b$ est égal à $0$ ou $5$ $\iff$ $2+b=5$ ou $2+b=10$ car $2+b\in \left\{{2;3;...;11}\right\}$ $\iff$ $\boxed{b=3\;ou\;b=8}$

3) $0\leqslant a\leqslant 9$ $\iff -9\leqslant -a\leqslant 0$ $\iff -12\leqslant -a-3\leqslant -3$
Le reste de la division euclidienne de x par $11$ est égal à 1 $\iff (-3-a)+11=1$ (car $2-a+4-9=-3-a$) $\iff \boxed{a=7}$

4) $10000=1250\times 8$ donc $10^4x+y$ est divisible par $8$ $\iff$ $y$ est divisible par $8$ $\iff b=6$ (voir 1))
$10^4x+y=(909\times 11+1)x+y$ est divisible par $11$ $\iff x+y$ est divisible par $11$
$10^4x+y$ est divisible par $8$ et $11$ $\iff b=6$ et $x+y$ est divisible par $11$ $\iff x+15136$ est divisible par $11$ $\iff$ x est divisible par $11$ (car $15136=1376\times 11$) $\iff (-3-a)+11=0$ $\iff$ $a=7$
$\boxed{10^4x+y\;est\;divisible\;par\; 8\; et \;11\iff a=7\;et\;b=6}$