Exercice 9 --- (id : 360)
Arithmetique: Exercice 9
correction
P(x)=x4+2x3+2x22x3P(x)=x^4+2x^3+2x^2-2x-3
1)
🔷P(1)=1+2+223=0P(1)=1+2+2-2-3=0
🔷P(1)=12+2+23=0P(-1)=1-2+2+2-3=0
2) P(1)=0P(1)=0 et P(1)=0P(-1)=0 donc P(x)P(x) est factorisable par x1x-1 et x+1x+1 donc pour tout réel x; P(x)=(x1)(x+1)Q(x)=(x21)Q(x)P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)=(x^2-1)Q(x) où Q est un polynome de degré 22
Alors cherchons les trois réels a, b et c tels que pour tout réel xx P(x)=(x21)(ax2+bx+c)P(x)=(x^2-1)(ax^2+bx+c)
xR;P(x)=(x21)(ax2+bx+c)=ax4+bx3+cx2ax2bxc=ax4+bx3+(ca)x2bxc        {a=1b=2ca=2b=2c=3    {a=1b=2c=3ca=31=2  vrai\begin{align*} \forall x \in \Bbb R&;\\ P(x)&=(x^2-1)(ax^2+bx+c) \\ &=ax^4+bx^3+cx^2-ax^2-bx-c \\ &=ax^4+bx^3+(c-a)x^2-bx-c \\ \iff\;\;& \left\{{\begin{aligned}&{a=1}\\&{b=2}\\&{c-a=2}\\&{-b=-2}\\ &{-c=-3}\end{aligned}}\right. \iff \left\{{\begin{aligned}&{a=1}\\&{b=2}\\&{c=3}\\&{c-a=3-1=2 \;vrai}\end{aligned}}\right. \end{align*} Conclusion : xR;P(x)=(x1)(x+1)(x2+2x+3)\forall x \in \Bbb R;P(x)=(x-1)(x+1)(x^2+2x+3)
3) En faisant la division euclidienne de nn par 33, on obtient n=3q+rn=3q+rqNq\in \Bbb N et r{0;1;2}r\in \left\{{0;1;2}\right\}
🔶Si r=0r=0; n=3qn=3q et P(n)=(n1)(n+1)(n2+2n+3)P(n)=(n-1)(n+1)(n^2+2n+3)     P(n)=(3q1)(3q+1)(9q2+6q+3)\iff P(n)=(3q-1)(3q+1)(9q^2+6q+3)     P(n)=3(3q1)(3q+1)3q2+2q+1)\iff P(n)=3(3q-1)(3q+1)3q^2+2q+1) donc 33 divise P(n)P(n)
🔶Si r=1r=1; n=3q+1    n1=3qn=3q+1 \iff n-1=3q or n1n-1 divise P(n)P(n) donc 3q3q divise P(n)P(n) et par suite 33 divise P(n)P(n)
🔶 Si r=2r=2; n=3q+2n=3q+2     n+1=3q+3=3(q+1)=3q\iff n+1=3q+3=3(q+1)=3q' or n+1n+1 divise P(n)P(n) donc 3q3q' divise P(n)P(n) alors 33 divise P(n)P(n).