2)P(1)=0 et P(−1)=0 donc P(x) est factorisable par x−1 et x+1 donc pour tout réel x; P(x)=(x−1)(x+1)Q(x)=(x2−1)Q(x) où Q est un polynome de degré 2
Alors cherchons les trois réels a, b et c tels que pour tout réel xP(x)=(x2−1)(ax2+bx+c) ∀x∈RP(x)⟺;=(x2−1)(ax2+bx+c)=ax4+bx3+cx2−ax2−bx−c=ax4+bx3+(c−a)x2−bx−c⎩⎨⎧a=1b=2c−a=2−b=−2−c=−3⟺⎩⎨⎧a=1b=2c=3c−a=3−1=2vraiConclusion :∀x∈R;P(x)=(x−1)(x+1)(x2+2x+3)
3)
En faisant la division euclidienne de n par 3, on obtient n=3q+r où q∈N et r∈{0;1;2}
🔶Si r=0; n=3q et P(n)=(n−1)(n+1)(n2+2n+3)⟺P(n)=(3q−1)(3q+1)(9q2+6q+3)⟺P(n)=3(3q−1)(3q+1)3q2+2q+1) donc 3 divise P(n)
🔶Si r=1; n=3q+1⟺n−1=3q or n−1 divise P(n) donc 3q divise P(n) et par suite 3 divise P(n)
🔶 Si r=2; n=3q+2⟺n+1=3q+3=3(q+1)=3q′ or n+1 divise P(n) donc 3q′ divise P(n) alors 3 divise P(n).