Exercice 14 --- (id : 1131)
Activités numériques II: Exercice 14
correction
1 a=804+920=16×54+34×5=454+325=5+325=35\begin{align*} a&=\dfrac{\sqrt{80}}{4}+\sqrt{9}-\sqrt{20}\\ &=\dfrac{\sqrt{16\times5}}{4}+3-\sqrt{4\times5}\\ &=\dfrac{4\sqrt{5}}{4}+3-2\sqrt{5}\\ &=\sqrt{5}+3-2\sqrt{5}=\boxed{3-\sqrt{5}} \end{align*}
2 ab=(35)(3+5)=3252=95=4    1ab=14    1a=b4    l’inverse de a est :3+54\begin{align*} ab&=\left({3-\sqrt{5}}\right)\left({3+\sqrt{5}}\right)\\ &=3^2-\sqrt{5}^2=9-5=4\\ \iff &\dfrac{1}{ab}=\dfrac{1}{4}\iff \dfrac{1}{a}=\dfrac{b}{4}\\ \iff & \text{l'inverse de a est :}\dfrac{3+\sqrt{5}}{4} \end{align*}
3 On remplace xx par 3+53+\sqrt{5}
(3+5)25(3+5)+1\left({3+\sqrt{5}}\right)^2-5\left({3+\sqrt{5}}\right)+1 =9+65+51555+1=9+6\sqrt{5}+5-15-5\sqrt{5}+1 =1515+6555=5=15-15+6\sqrt{5}-5\sqrt{5}=\sqrt{5} donc b=3+5b=3+\sqrt{5} est une solution de l'équation x25x+1=5x^2-5x+1=\sqrt{5}