Activités numériques II : Exercice 5 première année secondaire

1) $$\begin{align*} 1-\frac{1}{n^2}&=\frac{n^2}{n^2}-\frac{1}{n^2} \\[0.5em] &=\frac{n^2-1}{n^2} \\[0.5em] &=\frac{(n-1)\times(n+1)}{n \times n} \\[0.5em] &=\frac{n-1}{n} \times \frac{n+1}{n} \end{align*}$$

2) Appliquons la formule précédente
🔶Pour $n=2$ on obtient :
$1-\dfrac{1}{2^2}=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{3}{2}$
🔶Pour $n=3$ on obtient :
$1-\dfrac{1}{3^2}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{4}{3}$
🔶Pour $n=4$ on obtient :
$1-\dfrac{1}{4^2}=\dfrac{3}{4}\times \dfrac{5}{4}$

3) $$\begin{align*} S=&\left({1-\frac{1}{2^2}}\right)\times\left({1-\frac{1}{3^2}}\right)\times\left({1-\frac{1}{4^2}}\right)\times...\times\left({1-\frac{1}{50^2}}\right) \\ &=\frac{1}{2}\times \frac{3}{2} \times \frac{2}{3}\times \frac{4}{3}\times \frac{3}{4}\times \frac{5}{4}\times ... \times \frac{49}{50}\times \frac{51}{50} \end{align*}$$ Après simplifications on obtient :
$S=\dfrac{1}{2}\times \dfrac{51}{50}=\dfrac{51}{100}$