Activités numériques II : Exercice 4 première année secondaire
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119 exercices
Exercice 4 --- (id : 1124)
correction
1)
$$\begin{align*}
🔶a&=\frac{6}{5}+1-\frac{4}{10}+\frac{3}{2} \\[0.5em]
&=\frac{6}{5}+1-\frac{2}{5}+\frac{3}{2} \\[0.5em]
&=\frac{6}{5}-\frac{2}{5}+1+\frac{3}{2} \\[0.5em]
&=\frac{4}{5}+1+\frac{3}{2} \\[0.5em]
&=\frac{8}{10}+\frac{10}{10}+\frac{15}{10}=\frac{33}{10} \\[2em]
🔶b&=\frac{3}{4}-\frac{3}{4}\times\frac{16}{9}+3 \\[0.5em]
&=\frac{3}{4}-\frac{3\times16}{4\times 9}+3 \\[0.5em]
&=\frac{3}{4}-\frac{4}{3}+3 \\[0.5em]
&=\frac{9}{12}-\frac{16}{12}+\frac{36}{12} \\[0.5em]
&=\frac{9}{12}+\frac{36}{12}-\frac{16}{12} \\[0.5em]
&=\frac{29}{12} \\[2em]
🔶c&=\dfrac{\dfrac{5}{3}-\dfrac{7}{9}}{\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\dfrac{15-7}{9}}{\dfrac{1+2}{4}} \\[2.5em]
&=\dfrac{\dfrac{8}{9}}{\dfrac{3}{4}}=\dfrac{8}{9}\times \dfrac{4}{3}=\frac{32}{27}
\end{align*}$$
2)
a)
$$\begin{align*}
&\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1} \\
&=\dfrac{n+1}{n(n+1)}-\dfrac{n}{n(n+1)} \\
&=\dfrac{n+1-n}{n(n+1)} \\
&=\dfrac{1}{n(n+1)}
\end{align*}$$
b)
D'après la formule précédente
Pour $n=1$ on a :
$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{1\times 2}=\dfrac{1}{2}$
Pour $n=2$ on a :
$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2\times 3}=\dfrac{1}{6}$
Pour $n=3$ on a :
$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3\times 4}=\dfrac{1}{12}$
Pour $n=1$ on a :
$1-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{1}-\dfrac{1}{2}$ $=\dfrac{1}{1\times 2}=\dfrac{1}{2}$
Pour $n=2$ on a :
$\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{3}=\dfrac{1}{2\times 3}=\dfrac{1}{6}$
Pour $n=3$ on a :
$\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}=\dfrac{1}{3\times 4}=\dfrac{1}{12}$
c)
$$\begin{align*}
S&=\frac{1}{1\times 2}+\frac{1}{2\times 3}+\frac{1}{3\times 4}+...+\frac{1}{2014\times 2015} \\[1em]
&=\left({1-\cancel{\frac{1}{2}}}\right)+\left({\cancel{\frac{1}{2}}-\cancel{\frac{1}{3}}}\right)+\left({\cancel{\frac{1}{3}}-\cancel{\frac{1}{4}}}\right)+...+\left({\cancel{\frac{1}{2014}}-\frac{1}{2015}}\right) \\[1em]
&=1-\frac{1}{2015}=\frac{2014}{2015}
\end{align*}$$