Arithmetique : Exercice 2 2ème année secondaire

🔶Divisibilité par 4
Soit $n=x1527y$ un entier de 6 chiffres.
$n$ est divisible par $4$ équivaut l'entier $7y$ est divisible par $4$
Or $7y=70+y$ avec y un chiffre entre $0$ et $9$.
Alors $n$ est divisible par $4$ équivaut $y=2$ ou $y=6$.
🔶 Divisibilité par 11
Posons $d=y-7+2-5+1-x$ $=y-x-9$
➤ Premier cas: $y=2$
$d=2-x-9=-x-7$
$d+22=-x+15$ $\in \left\{{6;7;...;15}\right\}$ car $x\in \left\{{0;1;...;9}\right\}$
On sait que $n$ et $d+22$ ont le meme reste égal à $5$ dans la division Euclidienne par $11$.
Or aucun des entiers naturels entre $6$ et $15$ admet pour reste égal à $5$ dans sa division Euclidienne par $11$.
Conclusion: Pour $y=2$, aucun chiffre $x$ vérifie $n$ admet pour reste $5$ si on le divise par $11$.
➤ deuxième cas: $y=6$
$d=6-x-9=-x-3$
$d+22=-x+19$ $\in \left\{{10;11;...;19}\right\}$ car $x\in \left\{{0;1;...;9}\right\}$
$n$ et $d+22$ ont le meme reste égal à $5$ dans la division Euclidienne par $11$.
Donc $d=-x+19=16$ équivaut $x=3$
🔶🙋Conclusion: $\large \boxed{n=315276}$