Equations et inéquations : Exercice 3 première année secondaire

a) $$\begin{align*} &\frac{2x-1}{x+3}=1 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{2x-1}{x+3}-1=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{2x-1}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{(2x-1)-(x+3)}{x+3}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{2x-1-x-3}{x+3}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{x-4}{x+3} \\ &\text{équivaut}\;\; x-4=0\;  et  \;x+3\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=4 \end{align*}$$ Donc $S=\boxed{\left\{{4}\right\}}$   

b) $$\begin{align*} &\frac{-2x}{1+x}=3 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-2x}{1+x}-3=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-2x}{1+x}-\frac{3(1+x)} {1+x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-2x-3(1+x)}{1+x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-2x-3-3x}{1+x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-5x-3}{1+x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; -5x-3=0\;  et  \; x+1\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=-\frac{3}{5} \end{align*}$$ Donc $\boxed{S=\left\{{-\frac{3}{5}}\right\} }$

c) $$\begin{align*} &\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{5}{3x} \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{6}{3x}+\frac{x}{3x}-\frac{5}{3x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{6+x-5}{3x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{1+x}{3x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; 1+x=0\;  et  \;3x\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=-1\; et \; x\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=-1 \end{align*}$$ Donc $\boxed{S=\left\{{-1}\right\} }$

d) $$\begin{align*} &\frac{7}{x+1}=\frac{2}{x} \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{7x}{x(x+1)}-\frac{2(x+1)}{x(x+1)}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{7x-2(x+1)}{x(x+1)}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{7x-2x-2}{x(x+1)}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{5x-2}{x(x+1)}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; 5x-2=0\;  et  \;x(x+1)\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=\frac{2}{5}\;  et \; (x\neq 0\;  et  \;x\neq -1) \end{align*}$$ Donc $\boxed{S=\left\{{\frac{2}{5}}\right\} }$