Exercice 2 --- (id : 1474)
Equations et inéquations: Exercice 2
correction
pour chacune des équations suivantes, on désigne par S son ensemble de solutions.
a) 2x1x+3=1eˊquivaut    2x1x+31=0eˊquivaut    2x1x+3x+3x+3=0eˊquivaut    (2x1)(x+3)x+3=0eˊquivaut    2x1x3x+3=0eˊquivaut    x4x+3eˊquivaut    x4=0   et   x+30eˊquivaut    x=4\begin{align*} &\frac{2x-1}{x+3}=1 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{2x-1}{x+3}-1=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{2x-1}{x+3}-\frac{x+3}{x+3}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{(2x-1)-(x+3)}{x+3}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{2x-1-x-3}{x+3}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{x-4}{x+3} \\ &\text{équivaut}\;\; x-4=0\;  et  \;x+3\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=4 \end{align*} Donc S={4}S=\boxed{\left\{{4}\right\}}   
b) 2x1+x=3eˊquivaut    2x1+x3=0eˊquivaut    2x1+x3(1+x)1+x=0eˊquivaut    2x3(1+x)1+x=0eˊquivaut    2x33x1+x=0eˊquivaut    5x31+x=0eˊquivaut    5x3=0   et   x+10eˊquivaut    x=35\begin{align*} &\frac{-2x}{1+x}=3 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-2x}{1+x}-3=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-2x}{1+x}-\frac{3(1+x)} {1+x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-2x-3(1+x)}{1+x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-2x-3-3x}{1+x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{-5x-3}{1+x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; -5x-3=0\;  et  \; x+1\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=-\frac{3}{5} \end{align*} Donc S={35}\boxed{S=\left\{{-\frac{3}{5}}\right\} }
c) 2x+13=53xeˊquivaut    63x+x3x53x=0eˊquivaut    6+x53x=0eˊquivaut    1+x3x=0eˊquivaut    1+x=0   et   3x0eˊquivaut    x=1  et  x0eˊquivaut    x=1\begin{align*} &\frac{2}{x}+\frac{1}{3}=\frac{5}{3x} \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{6}{3x}+\frac{x}{3x}-\frac{5}{3x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{6+x-5}{3x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{1+x}{3x}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; 1+x=0\;  et  \;3x\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=-1\; et \; x\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=-1 \end{align*} Donc S={1}\boxed{S=\left\{{-1}\right\} }
d) 7x+1=2xeˊquivaut    7xx(x+1)2(x+1)x(x+1)=0eˊquivaut    7x2(x+1)x(x+1)=0eˊquivaut    7x2x2x(x+1)=0eˊquivaut    5x2x(x+1)=0eˊquivaut    5x2=0   et   x(x+1)0eˊquivaut    x=25   et   (x0   et   x1)\begin{align*} &\frac{7}{x+1}=\frac{2}{x} \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{7x}{x(x+1)}-\frac{2(x+1)}{x(x+1)}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{7x-2(x+1)}{x(x+1)}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{7x-2x-2}{x(x+1)}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; \frac{5x-2}{x(x+1)}=0 \\ &\text{équivaut}\;\; 5x-2=0\;  et  \;x(x+1)\neq 0 \\ &\text{équivaut}\;\; x=\frac{2}{5}\;  et \; (x\neq 0\;  et  \;x\neq -1) \end{align*} Donc S={25}\boxed{S=\left\{{\frac{2}{5}}\right\} }