Exercice 36 --- (id : 438)
Suites: Exercice 36
correction
1 U1=U0U0+1=11+1=12U_1=\dfrac{U_0}{U_0+1}=\dfrac{1}{1+1}=\dfrac{1}{2}
U2=U1U1+1U_2=\dfrac{U_1}{U_1+1} =1212+1=1232=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}+1}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{3}{2}} =12×23=13=\dfrac{1}{2}\times\dfrac{2}{3}=\dfrac{1}{3}
U3=U2U2+1U_3=\dfrac{U_2}{U_2+1} =1313+1=1343=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{3}+1}=\dfrac{\frac{1}{3}}{\frac{4}{3}} =13×34=14=\dfrac{1}{3}\times\dfrac{3}{4}=\dfrac{1}{4}
U1U0=121=12U_1-U_0=\dfrac{1}{2}-1=-\dfrac{1}{2}
U2U1=1312=16U_2-U_1=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{6}
U2U1U1U0U_2-U_1\neq U_1-U_0 donc (Un)(U_n) n'est pas une suite arithmétique.
2 T0=1U0=11=1T_0=\dfrac{1}{U_0}=\dfrac{1}{1}=1
T1=1U1=1½=2T_1=\dfrac{1}{U_1}=\dfrac{1}{½}=2
T2=1U2=1=3T_2=\dfrac{1}{U_2}=\dfrac{1}{⅓}=3
Tn+1TnT_{n+1}-T_n =1Un+11Un=\dfrac{1}{U_{n+1}}-\dfrac{1}{U_n} =Un+1Un1Un=Un+11Un=UnUn=1=\dfrac{U_n+1}{U_n}-\dfrac{1}{U_n}=\dfrac{U_n+1-1}{U_n}=\dfrac{U_n}{U_n}=1 donc (Tn)(T_n) est une suite arithmétique de raison 1
3 (Tn)(T_n) est une suite arithmétique de raison 1 et de premier terme T0=1U0=1T_0=\dfrac{1}{U_0}=1
Tn=T0+nr=1+n\boxed{T_n=T_0+nr=1+n}
Tn=1UnT_n=\dfrac{1}{U_n}     Un=1Tn\iff U_n=\dfrac{1}{T_n}     Un=1n+1\iff \boxed{U_n=\dfrac{1}{n+1}}
U3=13+1=14U_3=\dfrac{1}{3+1}=\dfrac{1}{4}
4 Sn=k=0nTkS_n=\sum\limits_{k=0}^{n}{T_k} =n0+12(T0+Tn)=\dfrac{n-0+1}{2}(T_0+T_n)     Sn=n+12(1+n+1)\iff S_n=\dfrac{n+1}{2}(1+n+1)     Sn=(n+1)(n+2)2\iff S_n=\dfrac{(n+1)(n+2)}{2}