Homotheties : Exercice 3 2ème année secondaire
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39 exercices
Exercice 3 --- (id : 525)
correction
1)
a)$h(D)=K$ et $h(B)=L$ donc $\overrightarrow{AK}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{AL}=\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}$ (Voir figure)
b)$h(D)=K$ et $h(B)=L$ donc $h((BD))=(KL)=\Delta$
2)
a)La droite $(AC)$ passe par le centre $A$ de l'homothétie $h$ donc $h((AC))=(AC)$
b)$(BD)\cap (AC)=\left\{{I}\right\}$ donc $h((BD))\cap h((AC))=\left\{{h(I)}\right\}$
Or $h((BD))=(KL)$ , $h((AC))=(AC)$ et $(KL)\cap (AC)=\left\{{J}\right\}$ donc $h(I)=J$
Toute homothétie conserve les milieux et $I$ milieu du segment $[BD]$ donc $h(I)=J$ est le milieu du segment image $h([BD])=[KL]$
Or $h((BD))=(KL)$ , $h((AC))=(AC)$ et $(KL)\cap (AC)=\left\{{J}\right\}$ donc $h(I)=J$
Toute homothétie conserve les milieux et $I$ milieu du segment $[BD]$ donc $h(I)=J$ est le milieu du segment image $h([BD])=[KL]$
3)$J$ milieu de $[KL]$ donc $\overrightarrow{AJ}=\dfrac{1}{2}\left({\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AL}}\right)$
$$\begin{align*}
\overrightarrow{AJ}&=\dfrac{1}{2}\left({\overrightarrow{AK}+\overrightarrow{AL}}\right) \\
&=\dfrac{1}{2}\left({\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AD}+\dfrac{3}{2}\overrightarrow{AB}}\right)\\
&=\dfrac{3}{4}\left({\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{AB}}\right)\\
&=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}
\end{align*}$$
$\overrightarrow{AJ}=\dfrac{3}{4}\overrightarrow{AC}$ donc $J$ est l'image de $C$ par l'homothétie de centre $A$ et de rapport $\dfrac{3}{4}$
