Activités algébriques : Exercice 42 première année secondaire
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77 exercices
Exercice 42 --- (id : 1265)
correction
3
$C=(x-3)^3$
a
Pour $x=\sqrt{3}$ on a: $C=(\sqrt{3}-3)^3$ $=[\sqrt{3}(1-\sqrt{3})]^3$ $\iff C=\sqrt{3}^3(1-\sqrt{3})^3$ $\iff C=3\sqrt{3}(1^3-3\sqrt{3}+3(\sqrt{3})^2-(\sqrt{3}^3))$ $\iff C=3\sqrt{3}(1-3\sqrt{3}+9-3\sqrt{3})$ $\iff C=3\sqrt{3}(10-6\sqrt{3})$ $\iff \boxed{C=6\sqrt{3}(5-2\sqrt{3})}$
b
$$\begin{align*}
A-C&=x^3-27-(x-3)^3\\
&=(x-3)(x^2+3x+9)-(x-3)^3\\
&=(x-3)[(x^2+3x+9)-(x-3)^2]\\
&=(x-3)[(x^2+3x+9)-(x^2-6x+9)]\\
&=(x-3)(x^2+3x+9-x^2+6x-9)\\
&=9x(x-3)
\end{align*}$$
Autrement:
$$\begin{align*}
A-C&=x^3-27-(x-3)^3\\
&=x^3-27-(x^3-3x^2\times 3+3\times x\times 3^2-3^3)\\
&=x^3-27-x^3+9x^2-27x+27\\
&=9x^2-27x=9x(x-3)
\end{align*}$$