Le contenu de l'urne peut être résumé dans le tableau suivant:
1) L'univers E des cas possibles est formé par les 12 boules donc $p(N)=\frac{Card(N)}{Card(E)}=\frac{7}{12}$; $p(A)=\frac{Card(A)}{Card(E)}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$
N∩A : "La boule tirée est noire n° 0"
Donc $p(N∩A)=\frac{card(N∩A)}{Card(E)}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$
2) Dans ce cas un cas possible est forcément une boule noire (car on sait dèja quelle est noire) donc l'univers des cas possibles se réduit à l'ensemble des cept boules noires seulement.
Donc $q=\frac{4}{7}$ et $\frac{p(N∩A)}{p(N)}=\frac{\frac{1}{3}}{\frac{7}{12}}=\frac{1}{3}.\frac{12}{7}=\frac{4}{7}=q$
Commentaire: q est appelé probabilité conditionnelle de A sachant N.

1) On est dans une situation d'équiprobabilité donc
p(E)=$\frac{1095}{1200}=0,9125$ et p(E∩M)=$\frac{657}{1200}=0,5475$
2) p(M/E)=$\frac{p(M∩E)}{p(E)}=\frac{0,5475}{0,9125}=0,6$
3) On sait que la personne choisie est un élève donc l'univers se réduit à l'ensemble des élèves seulement (on s'interesse seulement à la première ligne du tableau) donc
p(M/E)=$\frac{657}{1095}=0,6$

Considérons les événements suivants
$N_i$ : "La boule tirée au i-ème tirage est noire." avec 1≤i≤3
$B_i$ : "La boule tirée au i-ème tirage est blanche." avec 1≤i≤3
A est réalisé si les boules tirées sont dans l'ordre :
boule blanche au premier tirage, boule blanche au deuxième tirage et puis boule noire au troisième tirage. Donc on peut écrire
$p(A)= p(B_1∩B_2∩N_3)$ $= p(B_1)×p(B_2/B_1)×p(N_3/B_1∩B_2)$ $= \frac{5}{12}×\frac{4}{11}×\frac{7}{10}≈0,11$
B est réalisé si les boules tirées sont dans l'ordre :
boule blanche au premier tirage, boule noire au deuxième tirage et puis boule noire au troisième tirage ou boule noire au premier tirage, boule blanche au deuxième tirage et puis boule blanche au troisième tirage. Donc on peut écrire $p(B)= p(\left({B_1∩B_2∩N_3}\right)∪\left({N_1∩N_2∩B_3}\right))$ $= p(B_1)×p(B_2/B_1)×p(N_3/B_1∩B_2)$ $+p(N_1)×p(N_2/N_1)×p(B_3/N_1∩N_2)$ $=\frac{5}{12}×\frac{4}{11}×\frac{7}{10}+\frac{7}{12} ×\frac{6}{11}×\frac{5}{10}$ $=0,265152$

Considérons les événements :
C : "La personne choisie a les cheveux blonds".
O : "La personne choisie a les yeux bleus".
1) $p(O/C)=\frac{p(O∩C)}{p(C)}=\frac{0,35}{0,40}$ $=\frac{35}{40}=\frac{7}{8}=0,875$
2) $p(\overline{C}/O)=\frac{p(\overline{C}∩O)}{p(O)}$ or d'après la formule des probabilités totales on sait que $p(O)=p(C∩O)+p(\overline{C}∩O)$ ce qui donne $p(\overline{C}∩O)=p(O)-p(C∩O))$ $=0,5-0,35=0,15$
Donc $p(\overline{C}/O)=\frac{0,15}{0,5}=\frac{15}{50}=\frac{3}{10}=0,3$

D'après les données on a: $p(M)=\frac{80}{100}=0,8$ , $p(S/M)=\frac{75}{100}=0,75$ et $p(S/\overline{M})=\frac{40}{100}=0,4$
D'après la formule des probabilités totales on a: $p(S)=p(S∩M)+p(S∩\overline{M})$ $=p(M)×p(S/M)$ $+p(\overline{M})×p(S/\overline{M})$ $=0,8×0,75+(1-0,8)×0,4=0,68$

2) D'après la formule des probabilités totales on a:
$p(\overline D)=p(A\cap \overline D)+p(B \cap \overline D)$ $=p(A) \times p(\overline D /A) $ $+ p(B) \times p(\overline D /B)$ $=0,65 \times 0,92 + 0,35 \times 0,95$ $ = 0,9305$
3) $p(A/\overline D) =\frac{p(A \cap \overline D)}{p(\overline D)}$ $=\frac{p(A) \times p(\overline D/A)}{p(\overline D)}$ $=\frac{0,65 \times 0,92}{0,9305}\simeq 0,643$

1) a) D'après l'énoncé on a : $p_1=p(G_1)=0,5$ ; $p(G_2/G_1)=0,7$ et $p(G_2/P_1)=1-0,8=0,2$
░░b)
$p(G_2)=p(G_2 \cap G_1)+p(G_2 \cap P_1)$ $=p(G_1) \times p(G_2/G_1)+p(P_1) \times p(G_2/P_1)$ $=0,5 \times 0,7+0,5 \times 0,2=0,45$
░░c) Dans chaque partie du jeu, l'un des deux joueurs va gagner la partie c-à-d Pierre gagne ou perd la partie (il n y a pas de match nul) donc les événements $G_n \ et \ P_n$ forment une partition de l'univers et par la suite $p_n+q_n=1$
░░d) Les événements $G_n \ et \ P_n$ forment une partition de l'univers donc d'après la formule des probabilités totales on peut écrire $p(G_{n+1})= p(G_{n+1}\cap G_n)+p(G_{n+1}\cap P_n)$ $=p(G_n) \times p(G_{n+1}/G_n)$ $+p(P_n) \times p(G_{n+1}/P_n)$ $=0,7 \times p_n+q_n \times 0,2$ $=0,7 \times p_n+(1-p_n) \times 0,2$ $=0,5p_n+0,2$
2) a) $v_{n+1}=p_{n+1}-0,4$ $=(0,5p_n+0,2)-0,4$ $=0,5(v_n+0,4)-0,2$ $=0,5v_n$
donc $(v_n)$ est une suite géométrique de raison 0,5.
$ \forall n \in {\Bbb N}^{*},\ v_n$ $=v_1(0,5)^{n-1}$ $=(p_1-0,4)(0,5)^{n-1}$ $=0,1 \times (0,5)^{n-1}$
░░ b) $v_n=p_n-0,4$ $\Longleftrightarrow p_n=v_n+0,4$ $=0,1 \times (0,5)^{n-1}+0,4$
$\lim\limits_{n \to +\infty}{(0,5)}^{n-1}=0$ car $0,5 \in \left]{-1,1}\right[$ d'où $\lim\limits_{n \to +\infty}p_n=0,4$

D’après l’énoncé, $p(L) = 0,71$ ; $p(A) = 1 − 0,63 = 0,37$ et $p(A/L)=0,37$
Donc $p(A) \times p(L)=0,37 \times 0,71 = 0,2627$ et $p(A\cap L)=p(L)\times p(A/L)$ $=0,71 × 0,37 = 0,2627$
On a : $p(A) \times p(L)=p(A\cap L)$ donc les événements A et L sont indépendants.

Considérons les événements U « le tirage se fait dans l'urne U » et V « le tirage se fait dans l'urne V »
On peut résumer la situation à l'aide d'un arbre pondérée
En utilisant l'arbre pondérée on a:
$p(A)=p(U)\times p(A/U)$ $+p(V)\times p(A/V)$ $=\frac{1}{2}\times \frac{6}{9}+\frac{1}{2}\times \frac{3}{5}$ $=\frac{1}{3}+ \frac{3}{10}=\frac{19}{30}$
Sachant que la probabilité d'un événement est la somme des probabilités des chemins conduisant à cet événement et que la probabilité d'un chemin est le produit des probabilités des branches de ce chemin, on peut alors écrire:
$p(B)=\frac{1}{2} \frac{2}{3} \frac{2}{3}+ \frac{1}{2} \frac{1}{3} \frac{2}{3} $ $+\frac{1}{2} \frac{3}{5} \frac{3}{5}+\frac{1}{2} \frac{2}{5} \frac{3}{5}$ $=\frac{2}{9}+\frac{1}{9}+\frac{9}{50}+\frac{6}{50}$ $=\frac{3}{9}+\frac{15}{50}=\frac{1}{3}+\frac{3}{10}$ $=\frac{19}{30}$
$p(A\cap B)$ :« Les deux boules tirées sont vertes »
Les chemins à suivre sur l'arbre pondérée pour que cet événement soit réalisé sont: $\bullet \to U \to A \to B$ ou $\bullet \to V \to A \to B$ donc
$p(A\cap B)=\frac{1}{2}{\left({\frac{2}{3}}\right)}^{2}+\frac{1}{2}{\left({\frac{3}{5}}\right)}^{2}=\frac{362}{900}$ et on a: $p(A)\times p(B)={\left({\frac{19}{30}}\right)}^2=\frac{361}{900}$
$p(A\cap B) \ne p(A)\times p(B)$ donc A et B ne sont pas indépendants.