Exercices resolus compléments Analyse

Exercices résolus
des compléments d‘analyse
du cours de mathématiques - 3

Classes préparatoires 1er cycle universitaire

J.M. Arnaudîès
Maitre de conférences Université de Paris VI

.
P. Delezoide
Professeur de Mathématiques supérieures au Lycée Louis le Grand, Paris

H. Fraysse
Professeur honoraire de Mathématiques spécia|es
au Lycée Pierre de Fermat, Toulouse

TABLE DES MATIÈRES

Introduction

CHAPITRE II Séries entières 1
II.1 Rayon de convergence, exercices (1, 3, 5, 9, 10, 13, 16) 1
II.2 Fonction définie par une série formelle, exercices (1, 3, 4, 7, 10, 12, 13) 16
II.3 Fonction définie par une série formelle (suite), exercices (3, 5) 33
II.4 Fonctions de variable réelle développables en série entière, exercices (3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 19, 20, 22) 37

CHAPITRE III Compléments sur les séries entières 66
III.1 Composition et réversion, exercices (3, 4, 6) 66
III.2 Notion de fonction analytique complexe, exercices (2, 70
3, 6)
III.3 Notions sur le logarithme complexe, exercices (2, 4) 73
III.4 Fonctions usuelles dans le champ complexe, exercices (1, 2, 3, 4, 5) 77
III.5 Un théorème d’Abel, exercices (2, 3, 5, 7, 8, 10, 11, 12, 17, 19) 87
CHAPITRE IV Séries de Fourier 115
IV.1 Généralités, exercices (1, 4, 6, 8, 9) 115
IV.2 Formule de Parseval, exercices (1, 2, 4) 123
IV.3 Première étude de la convergence ponctuelle, exercices (l, 3, 5, 8, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 25) 126
IV.4 Opérations sur certaines séries de Fourier, exercices (1, 2, 3) 162
IV.5 Un théorème de Jordan, exercices (2, 3, 4, 5) 166
CHAPITRE V Dérivées partielles, différentielles 171
V.1 Dérivées partielles du premier ordre, exercice 1 171
V.2 Difiérentiabilité, exercices (1, 4, 6, 7, 8, 9, 13, 15, 16) 173
IX.3 Equations linéaires scalaires à coefficients constants, exercices (1, 2, 5, 7) 355
IX.4 Systèmes linéaires carrés à coefficients constants, exercices (1, 2, 3, 7, 9, 12) 364
IX.5 Equations linéaires du premier ordre à inconnue vectorielle, exercices (3, 6, 8, 11, 12, 19, 21, 24) 379

CHAPITRE X Equations différentielles 398
X.1 Généralités, exercices 5, 6 398
X.2 Théorèmes d’existence, exercices (1, 2, 5) 399
X.3 Techniques élémentaires usuelles, exercices (1, 8) 403
X.4 Autres techniques usuelles, exercices (2, 3, 4, 8, 9) 412
X.5 Deux exemples concrets, exercices (1, 2, 4) 432
APPENDICE 2 Sur les équations f (x,y, y’) = 0 440
exercices 1, 2
APPENDICE 3 Difi'érentiabilité des solutions 442
exercice 1