Mathématiques - Algèbre géométrie (3eme année)

Mathématiques - Algèbre géométrie (3eme année)

50% cours + 50% exercices

Sous la direction de

Guy Auliac
Professeur agrégé à l’université de Marne-la-Vallée

Jean Delcourt
Professeur agrégé à l’université de Cergy-Pontoise

Rémy Goblot
Professeur à l’université de Lille

Table des matières

CHAPITRE 1 • THÉORIE DES ENSEMBLES
1.1 Ensembles, applications 1
1.2 Cardinal d’un ensemble 5
1.3 Ensembles ordonnés, bon ordre 8
1.4 Relation d’équivalence, ensembles quotients 11
1.5 Rappels d’arithmétique élémentaire 13
Exercices 14

CHAPITRE 2 • ANNEAUX ET CORPS
2.1 Anneaux, sous-anneaux, idéaux 25
2.2 Divisibilité 36
2.3 Anneaux principaux, euclidiens et factoriels 39
Exercices 46

CHAPITRE 3 • POLYNÔMES
3.1 L’anneau des polynômes A[X] 59
3.2 Polynômes irréductibles 62
3.3 Polynômes à plusieurs indéterminées 68
Exercices 72

CHAPITRE 4 • ALGÈBRE LINÉAIRE
4.1 Diagonalisation et trigonalisation 85
4.2 Décomposition de Dunford et réduction de Jordan 94
4.3 Réduction de Frobenius 102
Exercices 108

CHAPITRE 5 • GROUPES
5.1 Sous-groupes, morphismes 119
5.2 Groupe quotient et groupe produit 123
5.3 Groupes commutatifs finis 126
5.4 Actions de groupes 130
5.5 Théorèmes de Sylow 134
Exercices 136

CHAPITRE 6 • ALGÈBRE BILINÉAIRE
6.1 Formes bilinéaires 147
6.2 Formes bilinéaires symétriques et antisymétriques 150
6.3 Formes quadratiques 155
6.4 Espaces vectoriels euclidiens et hermitiens 159
6.5 Adjoints 164
Exercices 169

CHAPITRE 7 • GROUPES CLASSIQUES
7.1 Les groupes linéaires et spécial linéaires 179
7.2 Le groupe orthogonal 183
7.3 La dimension deux 187
7.4 Décomposition des transformations orthogonales 193
Exercices 194

CHAPITRE 8 • ESPACES AFFINES EUCLIDIENS
8.1 Notions affines 203
8.2 Géométrie euclidienne 222
Exercices 233
CHAPITRE 9 • CALCULS BARYCENTRIQUES
9.1 Espace vectoriel des points pondérés 243
9.2 Application en géométrie plane 248
9.3 Application en géométrie du triangle 254
9.4 Fonction de Leibnitz 255
Exercices 256

CHAPITRE 10 • TÉTRAÈDRES ET PARALLÉLÉPIPÈDES
10.1 Produit mixte, produit vectoriel 267
10.2 Applications à des configurations 272
Exercices 277

CHAPITRE 11 • GÉOMÉTRIE DES CERCLES
11.1 Positions relatives de cercles et de droites 283
11.2 Puissance d’un point 287
11.3 Propriété angulaire du cercle 292
11.4 Faisceaux de cercles 294
11.5 L’espace des cercles du plan 296
11.6 Projection stéréographique 304
Exercices 308

CHAPITRE 12 • CONIQUES
12.1 Coniques dans un plan affine 315
12.2 Coniques dans un plan affine euclidien 325
Exercices 338

CHAPITRE 13 • NOMBRES COMPLEXES ET GÉOMÉTRIE
13.1 Le corps C comme plan géométrique 349
13.2 Utilisation de C en géométrie affine plane 351
13.3 La géométrie des cercles et C 355
13.4 Groupe circulaire 362
Exercices 367

INDEX 382

RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES 386