Cours de Mathématiques sup MPSI PCSI PTSI TSI

Cours de Mathématiques Sup MPSI PCSI PTSI TSI

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Alain Soyeur - Francois Capaces - Emmanuel Vieillard-Baron
23 mars 2011

Table des matières

1 Nombres complexes 19
1.1 Le corps Cdes nombres complexes - - - - 20
1.2 Parties réelle, imaginaire, Conjugaison - - - - 22
1.3 Représentation géométrique des complexes - - - 23
1.4 Module d’un nombre complexe, inégalités triangulaires - - 24
1.5 Nombres complexes de module 1 - - - - 25
1.6 Argument, fonction exponentielle complexe - - - 31
1.7 Racines n-ièmes de l’unité - - - 33
1.8 Équations du second degré - - - 35
1.9 Nombres complexes et géométrie plane - - - 37
1.10 Transformations remarquables du plan - - - - 38
1.11 Exercices - - - - - 42

2 Géométrie élémentaire du plan 62
2.1 Quelques notations et rappels - - - 62
2.2 Modes de repérage dans le plan - - - - 64
2.2.1 Repères Cartésiens - - - 64
2.3 Produit scalaire - - - - 70
2.4 Déterminant - - - - - 72
2.5 Droites - - - - - 75
2.6 Cercles - - - - - 81
2.7 Exercices - - - - - 87

3 Géométrie élémentaire de l’espace 113
3.1 Préambule - - - - - 113
3.2 Mode de repérage dans l’espace - - - - 116
3.3 Produit scalaire - - - - 119
3.4 Produit vectoriel - - - - 121
3.5 Déterminant ou produit mixte - - - 124
3.6 Plans dans l’espace - - - - 127
3.7 Droites dans l’espace - - - - 131
3.8 Sphères - - - - - 134
3.9 Exercices - - - - - 136

4 Fonctions usuelles 151
4.1 Fonctions logarithmes, exponentielles et puissances - - 152
4.2 Fonctions circulaires réciproques - - - - 160
4.3 Fonctions hyperboliques - - - 166
4.4 Deux exemples - - - - 173
4.5 Fonction exponentielle complexe - - - - 176
4.6 Exercices - - - - - 178

5 Equations différentielles linéaires 198
5.1 Quelques rappels - - - - 198
5.2 Deux caractérisations de la fonction exponentielle - - 198
5.3 Équation différentielle linéaire du premier ordre - - 199
5.4 Équations différentielles linéaires du second ordre - - 209
5.5 Exercices - - - - - 217

6 Étude des courbes planes 230
6.1 Fonctions à valeurs dans R2 - - - 230
6.2 Arcs paramétrés - - - - 233
6.3 Etude d’une courbe polaire ρ = f (θ)- - - - 244
6.4 Exercices - - - - - 248

7 Coniques 271
7.1 Définitions et premières propriétés - - - - 272
7.2 Étude de la parabole : e = 1 - - - 273
7.3 Étude de l’ellipse : 0 < e < 1 - - - 275
7.4 Étude de l’hyperbole : 1 < e - - - 278
7.5 Définition bifocale de l’ellipse et de l’hyperbole - - 281
7.6 Courbes algébriques dans le plan - - - - 282
7.7 Exercices - - - - - 286

8 Nombres entiers naturels, ensembles finis, dénombrements 304
8.1 Ensemble des entiers naturels - Récurrence - - - 304
8.2 Ensembles finis - - - - 308
8.3 Opérations sur les ensembles finis - - - - 310
8.4 Dénombrement - - - - 312
8.5 Exercices - - - - - 318

9 Corps Rdes nombres réels 339
9.1 Introduction - - - - - 339
9.2 Le corps des réels - - - - 340
9.3 Valeur absolue - - - - 341
9.4 Majorant, minorant, borne supérieure - - - - 342
9.5 Droite numérique achevée R - - - 343
9.6 Intervalles de R - - - - 344
9.7 Propriété d’Archimède - - - 344
9.8 Partie entière - - - - 345
9.9 Densité de Q dans R - - - - 345
9.10 Exercices - - - - - 347

10 Suites de nombres réels 354
10.1 Définitions - - - - - 354
10.2 Convergence d’une suite - - - 356
10.3 Opérations sur les limites - - - 358
10.4 Suite extraite d’une suite - - - 362
10.5 Suites monotones - - 363
10.6 Suites géométriques - - - - 367
10.7 Relations de comparaison - - - 368
10.8 Comparaison des suites de référence - - - - 371
10.9 Exercices - - - - - 374
11 Fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles 414
11.1 Vocabulaire - - - - - 414
11.2 Limite et continuité en un point - - - - 418
11.3 Étude locale d’une fonction - - - 429
11.4 Propriétés globales des fonctions continues - - - 433
11.5 Exercices - - - - - 440
12 Dérivation des fonctions à valeurs réelles 469
12.1 Dérivée en un point, fonction dérivée - - - - 469
12.2 Opérations sur les dérivées - - - 472
12.3 Étude globale des fonctions dérivables - - - - 475
12.4 Dérivées successives - - - - 479
12.5 Fonctions convexes - - - - 481
12.6 Exercices - - - - - 486

13 Intégration sur un segment des fonctions à valeurs réelles 517
13.1 Fonctions en escaliers - - - 518
13.2 Fonctions continues par morceaux - - - - 521
13.3 Primitive et intégrale d’une fonction continue - - - 529
13.4 Calcul de primitives et d’intégrales - - - - 533
13.5 Formules de Taylor - - - - 537
13.6 Méthode des rectangles, Sommes de Riemann - - - 542
13.7 Exercices - - - - - 546

14 Développements limités 596
14.1 Développements limités - - - 596
14.2 Développement limité des fonctions usuelles - - - 599
14.3 Opérations sur les développements limités - - - 600
14.4 Exercices - - - - - 605

15 Propriétés métriques des arcs 639
15.1 Propriétés métriques des courbes planes - - - 640
15.2 Exercices - - - - - 650

16 Suites et fonctions à valeurs complexes 655
16.1 Suites complexes - - - - 655
16.2 Continuité des fonctions à valeurs complexes - - - 657
16.3 Dérivabilité des fonctions à valeurs complexes - - - 657
16.4 Intégration des fonctions à valeurs complexes - - - 658
16.5 Exercices - - - - - 661

17 Notions sur les fonctions de deux variables réelles 664
17.1 Continuité des fonctions à deux variables - - - 664
17.2 Dérivées partielles, fonctions C1 - - - - 668
17.3 Différentielle - - - - 672
17.4 Extremum d’une fonction à deux variables - - - 673
17.5 Dérivées partielles d’ordre 2 - - - 676
17.6 Exemples d’équations aux dérivées partielles - - - 678
17.7 Exercices - - - - - 683

18 Intégrales multiples 699
18.1 Intégrales doubles - - - - 699
18.2 Champs de vecteurs dans le plan et dans l’espace - - 703
18.3 Exercices - - - - - 707

19 Structures algébriques 717
19.1 Groupe - - - - - 717
19.2 Anneau, corps - - - - 724
19.3 Exercices - - - - - 727

20 Arithmétique 748
20.1 Relation de divisibilité, division euclidienne - - - 748
20.2 PGCD, théorèmes d’Euclide et de Bézout - - - 751
20.3 Nombres premiers - - - - 756
20.4 Exercices - - - - - 759

21 Polynômes 767
21.1 Polynômes à une indéterminée - - - - 767
21.2 Fonctions polynomiales - - - 773
21.3 Polynômes dérivés - - - - 776
21.4 Polynômes scindés - - - - 778
21.5 Arithmétique dans K[X] - - - 782
21.6 Exercices - - - - - 787

22 Fractions rationnelles 812
22.1 Fractions rationnelles - - - 812
22.2 Décomposition en éléments simples d’une fraction rationnelle - - - 814
22.3 Exercices - - - - - 821

23 Espaces vectoriels 844
23.1 Espace vectoriel - - - - 844
23.2 Sous-espace vectoriel - - - 848
23.3 Somme de sous-espaces vectoriels - - - - 853
23.4 Applications linéaires - - - 857
23.5 Équations linéaires - - - - 860
23.6 Projecteurs et symétries - - - 861
23.7 Exercices - - - - - 866

24 Dimension des espaces vectoriels 897
24.1 Familles de vecteurs - - - - 897
24.2 Dimension d’un espace vectoriel - - - - 901
24.3 Dimension d’un sous-espace vectoriel - - - - 905
24.4 Applications linéaires en dimension finie - - - 908
24.5 Récurrences linéaires - - - - 913
24.6 Polynômes - - - - - 914
24.7 Exercices - - - - - 916

25 Calcul matriciel 949
25.1 Matrice à coefficients dans K - - - 950
25.2 Matrices d’une famille de vecteurs, d’une application linéaire - - - 955
25.3 Matrices carrées - - - - 958
25.4 Changement de base - - - - 9674
25.5 Rang d’une matrice - - - - 968
25.6 Déterminant d’une matrice carrée de taille 2 ou 3 - - 972
25.7 Déterminants d’ordre 2 ou 3 d’une famille de vecteurs - - 973
25.8 Déterminant d’un endomorphisme - - - - 976
25.9 Méthodes de calcul du déterminant - - - - 976
25.10Applications - - - - - 979
25.11Systèmes linéaires - - - - 980
25.12 Exercices - - - - - 984

26 Groupe symétrique, déterminant 1033
26.1 Le groupe symétrique - - - 1033
26.2 Construction du déterminant - - - 1038
26.3 Exercices - - - - - 1051

27 Produit scalaire, groupe orthogonal 1062
27.1 Définitions et règles de calcul - - - 1062
27.2 Orthogonalité - - - - 1065
27.3 Espaces euclidiens - - - - 1066
27.4 Projecteurs et symétries orthogonaux - - - - 1070
27.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales - - 1072
27.6 Etude du groupe orthogonal - - - 1074
27.7 Exercices - - - - - 1084

28 Géométrie affine 1098
28.1 Sous-espaces affines - - - - 1098
28.2 Applications affines - - - - 1104
28.3 Isométries affines - - - - 1108
28.4 Similitudes - - - - - 1112
28.5 Exercices - - - - - 1114
28.6 Similitudes - - - - - 1123

A Techniques de démonstration 1126
A.1 Logique des propositions - - - 1126
A.2 Ensembles - - - - - 1129
A.3 Quantificateurs - - - - 1130
A.4 Plans de démonstration - - - 1131
A.5 Fautes de raisonnements classiques - - - - 1147

B Techniques d’ algèbre 1155
B.1 Trigonométrie - - - - 1155
B.2 Calculs de sommes - - - - 1158
B.3 Trigonométrie et nombres complexes - - - - 1164
B.4 Calculs sur des polynômes - - - 1168
B.5 Calculs en algèbre linéaire - - - 1179

C Techniques d’ analyse 1189
C.1 Majorer-minorer - - - - 1189
C.2 Dérivation - - - - - 1197
C.3 Manipulation de bornes supérieures - - - - 1201
C.4 Équivalents - - - - - 1204
C.5 Étude de suites récurrentes, vitesse de convergence - - 1219

D Conseils 1243
D.1 Conseils d’étude - - - - 1243
D.2 Conseils de rédaction - - - - 1245

E Formulaires 1247
E.1 Trigonométrie - - - - 1247
E.2 Trigonométrie hyperbolique - - - 1248
E.3 Dérivées des fonctions usuelles - - - - 1249
E.4 Primitives des fonctions usuelles - - - - 1251
E.5 Coniques - - - - - 1252
E.6 Limites usuelles - - - - 1253
E.7 Équivalents usuels et croissances comparées - - - 1254
E.8 Développements limités - - - 1255
E.9 Espaces vectoriels - - - - 1256