Théorie de Galois

Table des matières

Notations

Chapitre I. GENERALITES : ANNEAUX, CORPS, POLYNÔMES

• 1. Anneaux et corps
• 2. Caractéristique d’un anneau, d’un corps
• 3. Polynômes irréductibles
• 4. Polynômes symétriques
• 5. Appendice:fonction indicatrice d’Euler
• 6. Exercices

Chapitre ILEXTENSIONS DE CORPS

• 1. Généralités
• 2. Groupe de Galois d’une extension
• 3. Exercices

Chapitre III. EXTENSIONS ALGÉBRIQUES ET TRANSCENDANTES

• l. Structure des extensions monogènes
• 2. Eléments conjugués
• 3. Extensions algébriques
• 4. Nombres algébriques réels, complexes
• 5. Théorèmes de Hermite et de Lindemann
• 6. Exercices

Chapitre IV. CONSTRUCTIONS GEOMETRIQUES A LA RÈGLE ET AU COMPAS

• l. Points constructibles
• 2. Nombres constructibles
• 3. Application des résultats précédents aux problèmes grecs classiques
• 4. Compléments
• 5. Exercices

ChapitreV.ADJONCTION DE RAÇINES

• 1. Corps dempture d’unpolynôme
• 2. Corps de décomposition d’un polynôme
• 3. Clôture algébrique d’un corps
• 4. Exercices

Chapitre VI. CORPS CYCLOTOMIQUES

• 1. Corps cyclotomiques.Polynômes cyclotomiques
• 2. Sous—corps réel de Q(Un)
• 3. Construction de polygones réguliers à la règle et au compas
• 4. Appendice: quelques polynômes cyclotomiques
• 5. Exercices

Chapitre VII. CORPS FINIS

• 1. Structure de ]Fp,,e.v.Commutativité
• 2. Existence et unicité d’un corps de cardinal primaire
• 3. Groupe des automorphismes d’un corps fini
• 4. Polynômes irréductibles sur Fp
• 5. Sous—corps d’un corps fini
• 6. Clôture algébrique d’un corps fini
• 7. Carrés dans un corps fini
• 8. Exercices

Chapitre VIII. EXTENSIONS SEPARAELES

• 1. Préliminaires
• 2. Polynômes séparables
• 3. Eléments séparables. Extensions séparables
• 4. Degré séparable d’une extension algébrique
• 5. Exercices

Chapitre IX. TRACE, NORME, DISCRIMINANT

• l. Rappels d’algèbre linéaire
• 2. Définitions et propriétés élémentaires
• 3. Transitivité de la norme et de la trace : complément
• 4. Discriminant
• 5. Discriminantd’un polynôme
• 6. Résultant, déterminant de Sylvester, discriminant
• 7. Exercices

Chapitre X. EXTENSIONS NORMALES

• 1. Résultats et concepts fondamentaux
• 2. Extensions normales finies et corps de décomposition
• 3. Normalité dans les tours d’extensions
• 4. Clôture normale d’une extension algébrique
• 5. Exercices

Chapitre XI. THEORIE DE GALOIS DES EXTENSIONS FINIES

• l. Extensions galoisiennes finies
• 2. Correspondance de Galois
• 3. Groupe de Galois d’un polynôme
• 4. Applications et exemples
• 5. Exercices

Chapitre XII. RACINES DE L’UNITÉ

• l. Corps des racines n-ièmes del’unité
• 2. Résidus quadratiques. Loi de réciprocité quadratique
• 3. Exercices

Chapitre XIII. NOTIONS DE THEORIE DES GROUPES

• l. Suites normales, suites de composition
• 2. Suite dérivée d’un groupe
• 3. Groupes résolubles
• 4. Groupes simples. Applications
• S. Groupes symétriques
• 6. Sous—groupes de Sylow
• 7. Exercices

Chapitre XIV. ÉQUATIONS RESOLUBLES PAR RADICAUX

• 1. Extensions galoisiennes finies à groupe de Galois cyclique
• 2. Extensions par radicaux
• 3. Exemples d’équations non résolubles par radicaux
• 4. Exercices

Chapitre XV. DEGRE DE TRANSCENDANCE

• l. Dépendance algébrique
• 2. Degré de transcendance
• 3. Théorème de Lüroth
• 4. Exercices

Chapitre XVI. LE POLYNÔME GENERIQUE DE DEGRE n

• 1. Le polynôme générique de degré n
• 2. Résolution des équations algébriques de degré 5 4
• 3. Exercices

Chapitre XVII. COMPLEMENTS

• 1. Caractérisation des nombres constructibles
• 2. Une démonstration du théorème de D’Alembert-Gauss .
• 3. Théorème de Stickelberger
• 4. Bases normales d’un corps fini
• 5. Groupe de Galois d’un polynôme de degré 4
• 6. Réduction modulo p

Chapitre XVIII. PROLONGEMENTS

• 1. Théorie de Galois constructive
• 2. Généralisations de la théorie de Galois classique
• 3. Théorie de Galois différentielle

Bibliographie

Index terminologique