Questions mathématiques diverses

Question 54:
Soit $\alpha$ et $\beta$ deux réels tels que $\beta \neq 2k\pi$ où $k\in\Bbb Z$
Montrer que pour tout entier naturel $n$ non nul,
$\sin \alpha+\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha+2\beta)+...+\sin(\alpha+(n-1)\beta)$
$=\dfrac{\sin \dfrac{n\beta}{2}}{\sin \dfrac{\beta}{2}}\sin\left({\alpha+(n-1)\dfrac{\beta}{2}}\right)$

Réponse 54:
$$\begin{align*} &S=\sin \alpha+\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha+2\beta)+...+\sin(\alpha+(n-1)\beta)\\ &\text{Multiplions les deux membres par }2\sin\dfrac{\beta}{2}\\ &2S\sin\dfrac{\beta}{2}=2\sin\alpha\sin\dfrac{\beta}{2}+2\sin(\alpha+\beta)\sin\dfrac{\beta}{2}+...+2\sin(\alpha+(n-1)\beta)\sin\dfrac{\beta}{2}\\ &\text{Or on a :}\\ &2\sin\alpha\sin\dfrac{\beta}{2}=\cos\left({\alpha-\dfrac{\beta}{2}}\right)-\cos\left({\alpha+\dfrac{\beta}{2}}\right)\\ &2\sin(\alpha+\beta)\sin\dfrac{\beta}{2}=\cos\left({\alpha+\dfrac{\beta}{2}}\right)-\cos\left({\alpha+\dfrac{3\beta}{2}}\right)\\ &2\sin(\alpha+2\beta)\sin\dfrac{\beta}{2}=\cos\left({\alpha+\dfrac{3\beta}{2}}\right)-\cos\left({\alpha+\dfrac{5\beta}{2}}\right)\\ &\vdots\\ &2\sin(\alpha+(n-1)\beta)\sin\dfrac{\beta}{2}=\cos\left({\alpha+(2n-3)\dfrac{\beta}{2}}\right)-\cos\left({\alpha+(2n-1)\dfrac{\beta}{2}}\right)\\ &\text{En faisant la somme membre à membre on obtient :}\\ &2S\sin\dfrac{\beta}{2}=\cos\left({\alpha-\dfrac{\beta}{2}}\right)-\cos\left({\alpha-(n-1)\dfrac{\beta}{2}}\right)\\ &\qquad=2\sin\left({\alpha+(n-1)\dfrac{\beta}{2}}\right)\sin\dfrac{n\beta}{2}\\ &\iff \boxed{S=sin\left({\alpha+(n-1)\dfrac{\beta}{2}}\right)\dfrac{\sin\dfrac{n\beta}{2}}{\sin\dfrac{\beta}{2}}} \end{align*}$$