Questions mathématiques diverses

Question 39:
Soit la fonction $f$ définie sur $\Bbb R╲\left\{{\frac{3}{2}}\right\}$ par : $f(x)=\dfrac{3x+5}{2x-3}$
On note $f_1=f$ et $f_n=fof_{n-1}$ pour tout $n\geqslant 2$
Calculer $f_{2023}(x)+f_{2024}(x)$ en fonction de $x$.

Réponse 39:
Soit $x$ un réel tel que $x\neq \dfrac{3}{2}$ $$\begin{align*} f_2(x)&=f(f_1(x))=f(f(x))\\ &=\dfrac{3\times\dfrac{3x+5}{2x-3}+5}{2\times\dfrac{3x+5}{2x-3}-3}\\ &=\dfrac{9x+15+10x-15}{6x+10-6x+9}\\ &=\dfrac{19x}{19}=x \end{align*}$$ A l'aide d'un raisonnement par récurrence, on montre facilement que pour tout entier $n\geqslant1;\quad f_{2n}(x)=x$
Soit un entier $n\geqslant 1$; $f_{2n+1}(x)=f(f_{2n}(x))=f(x)$
Donc pour tout entier $n\geqslant1$ $f_n(x)=\begin{cases} x &\text{si n est paire} \\ f(x) &\text{si n est impaire} \end{cases}$
$$\begin{align*} f_{2023}(x)&+f_{2024}(x)\\ &=f(x)+x\\ &=\dfrac{3x+5}{2x-3}+x\\ &=\dfrac{2x^2+5}{2x-3} \end{align*}$$