Questions mathématiques diverses

Question 35:
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : $f(x)=\sin^4 x+\cos^4 x$
Montrer que $f$ est périodique de période $\dfrac{\pi}{2}$

Réponse 35:
$$\begin{align*} f(x)&=\sin^4x+\cos^4x\\ &=(1-\cos^2x)^2+\cos^4x\\ &=2\cos^4x-2\cos x+1\\ &=-2\cos^2x(1-\cos^2x)+1\\ &=-2\cos^2x\sin^2x+1\\ &=-\dfrac{1}{2}\sin^22x+1\\ &=\dfrac{2-\sin^22x}{2}\\ &=\dfrac{1+\cos^22x}{2}\\ &=\dfrac{2+2\cos^22x}{4}\\ &=\dfrac{3+2\cos^22x-1}{4}\\ &=\dfrac{3+\cos4x}{4} \end{align*}$$ Donc $f$ est périodique de période $\dfrac{2\pi}{4}=\dfrac{\pi}{2}$