Questions mathématiques diverses

Question 31:
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par :
$f(x)=\sin x+\cos ax$.
Montrer que si f est périodique alors $a$ est un nombre rationnel.

Réponse 31:
Soit $T$ la période de $f$. $\forall x \in\Bbb R, f(x+T)=f(x)$
Prenons respectivement $x=0$ et $x=-T$ on obtient :
$\left\{{\begin{aligned}&{\sin T+\cos aT=1}\\&{-\sin T+\cos aT=1}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{\sin T=0}\\&{\cos aT=1}\end{aligned}}\right.$ $\iff \left\{{\begin{aligned}&{T=m\pi}\\&{aT=2n\pi}\end{aligned}}\right.$ où $m,n\in \Z$ donc $\dfrac{aT}{T}=a=\dfrac{2n}{m}\in \Bbb Q$