Étude de fonctions
Dhaouadi Nejib - Avril 2024
I.
Les indispensables
1
Domaine d'étude
Fonction paire
☛ Définition
Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D_f$
La fonction $f$ est paire si et seulement Si pour tout réel $x\in D_f$; $-x\in D_f$ et $f(-x)=f(x)$
La fonction $f$ est paire si et seulement Si pour tout réel $x\in D_f$; $-x\in D_f$ et $f(-x)=f(x)$
Remarques
🔶 Le domaine de définition d'une fonction paire est symétrique par rapport à 0.
🔶 La courbe représentative d'une fonction paire, dans un repère orthogonal, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
🔶 Si $f$ est une fonction paire, on pourra prendre comme domaine d'étude l'ensemble $D_e=D_f\cap \R_+$ où $D_f$ est le domaine de définition de $f$
🔶 La courbe représentative d'une fonction paire, dans un repère orthogonal, est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées.
🔶 Si $f$ est une fonction paire, on pourra prendre comme domaine d'étude l'ensemble $D_e=D_f\cap \R_+$ où $D_f$ est le domaine de définition de $f$
Fonction impaire
☛ Définition
Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D_f$.
La fonction $f$ est impaire si et seulement si pour tout réel $x\in D_f$; $-x\in D_f$ et $f(-x)=-f(x)$.
La fonction $f$ est impaire si et seulement si pour tout réel $x\in D_f$; $-x\in D_f$ et $f(-x)=-f(x)$.
Remarques
🔶 Le domaine de définition d'une fonction impaire est symétrique par rapport à 0.
🔶 L'ensemble des valeurs d'une fonction impaire est aussi symétrique par rapport à 0.
🔶 La courbe représentative d'une fonction impaire, dans un repère cartésien, est symétrique par rapport à l'origine du repère.
🔶 Si $f$ est une fonction impaire, on pourra prendre comme domaine d'étude l'ensemble $D_e=D_f\cap \R_+$ où $D_f$ est le domaine de définition de $f$
🔶 L'ensemble des valeurs d'une fonction impaire est aussi symétrique par rapport à 0.
🔶 La courbe représentative d'une fonction impaire, dans un repère cartésien, est symétrique par rapport à l'origine du repère.
🔶 Si $f$ est une fonction impaire, on pourra prendre comme domaine d'étude l'ensemble $D_e=D_f\cap \R_+$ où $D_f$ est le domaine de définition de $f$
Fonction périodique
☛ Définition
Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D_f$.
$f$ est une fonction périodique si et seulement si il existe un réel non nul $t$ tel que pour tout réel $x\in D_f$; $x+t\in D_f$ et $f(x+t)=f(x)$.
On dit que $t$ est une période de $f$.
$f$ est une fonction périodique si et seulement si il existe un réel non nul $t$ tel que pour tout réel $x\in D_f$; $x+t\in D_f$ et $f(x+t)=f(x)$.
On dit que $t$ est une période de $f$.
Remarques
🔶 Si t est une période de $f$ alors pour tout entier naturel non nul n; $nt$ est aussi une période de $f$.
🔶 Soit 𝒫 l'ensemble des période de $f$. Le plus petit élément strictement positif de 𝒫 est appelé la période de $f$.
On dit que $f$ est périodique de période T.
On dit que $f$ est périodique de période T.
🔶 Soit $f$ une fonction périodique de période T et 𝒞 sa courbe représentative dans un repère $(O,\vec i,\vec j)$.
On désigne par $M$ et $M_k$ les points de 𝒞 d'abscisses respectives $x$ et $x+kT$ où $x\in D_f$ et $k\in \Z$. Comme $f(x+kT)=f(x)$ alors $\overrightarrow{MM_k}=kT\vec i$ donc $M_k$ se déduit de M par la translation de vecteur $kT\vec i$.
On désigne par $M$ et $M_k$ les points de 𝒞 d'abscisses respectives $x$ et $x+kT$ où $x\in D_f$ et $k\in \Z$. Comme $f(x+kT)=f(x)$ alors $\overrightarrow{MM_k}=kT\vec i$ donc $M_k$ se déduit de M par la translation de vecteur $kT\vec i$.
🔶 Si on désigne par $𝒞_0$ la partie de la courbe $𝒞$ qui correspond à $D_f\cap[a;a+T]$ où $a\in D_f$ alors la courbe $𝒞$ se déduit de $𝒞_0$ par les translations de vecteurs $kT\vec i$ où $k\in \Bbb Z$
🔶 Chacune des fonctions $x\longmapsto \cos x$ et $x\longmapsto \sin x$ est périodique de période $2\pi$
🔶 Chacune des fonctions $x\longmapsto \tan x$ et $x\longmapsto \cot x$ est périodique de période $\pi$
🔶 Chacune des fonctions $x\longmapsto \cos (ax+b)$ et $x\longmapsto \sin (ax+b)$ est périodique de période $\dfrac{2\pi}{\left|{a}\right|} \;\; (a\neq 0)$
🔶 Chacune des fonctions $x\longmapsto \tan (ax+b)$ et $x\longmapsto \cot (ax+b)$ est périodique de période $\dfrac{\pi}{\left|{a}\right|}\;\;(a\neq 0)$
2
Eléments de symétries
Axe de symétrie
☛ Définition
Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D_f$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$.
La droite d'équation $x=a$ où $a\in \Bbb R$ est un axe de symétrie pour la courbe $𝒞$ si et seulement si pour tout réel $x\in D_f$ ; $\left\{{\begin{aligned}&{2a-x\in D_f}\\&{f(2a-x)=f(x)}\end{aligned}}\right.$
La droite d'équation $x=a$ où $a\in \Bbb R$ est un axe de symétrie pour la courbe $𝒞$ si et seulement si pour tout réel $x\in D_f$ ; $\left\{{\begin{aligned}&{2a-x\in D_f}\\&{f(2a-x)=f(x)}\end{aligned}}\right.$
Remarques
🔶 Si a=0 on retrouve le cas d'une fonction paire.
🔶 Le domaine de définition de $f$ est symétrique par rapport à a.
La droite $D$ d'équation $x=a$ est un axe de symétrie pour la courbe.
M est un point quelconque de la courbe et M' son symétrique par rapport à la droite $D$.
Vous pouvez faire glidsser le point M sur la courbe.👍
Vous pouvez faire glidsser le point M sur la courbe.👍
Exemple 1
✍
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=x^4-8x^3+22x^2-24x+9$
On désigne par $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$.
Montrer que la droite $D: x=2$ est un axe de symétrie pour la courbe $𝒞$.
On désigne par $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$.
Montrer que la droite $D: x=2$ est un axe de symétrie pour la courbe $𝒞$.
Cliquer ici pour montrer les solutions
Exemple 2
✍
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=\sqrt{x^2+3x-4}$.
On note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$
Montrer que la courbe $𝒞$ admet un axe de symétrie que l'on précisera.
On note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal $(O,\vec i,\vec j)$
Montrer que la courbe $𝒞$ admet un axe de symétrie que l'on précisera.
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Centre de symétrie
☛ Définition
Soit $f$ une fonction de domaine de définition $D_f$ et $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$. Soient $a\;et\;b$ deux réels
La point $I(a,b)$ est un centre de symétrie pour la courbe $𝒞$ si et seulement si pour tout réel $x\in D_f$ ; $\left\{{\begin{aligned}&{2a-x\in D_f}\\&{f(2a-x)=2b-f(x)}\end{aligned}}\right.$
La point $I(a,b)$ est un centre de symétrie pour la courbe $𝒞$ si et seulement si pour tout réel $x\in D_f$ ; $\left\{{\begin{aligned}&{2a-x\in D_f}\\&{f(2a-x)=2b-f(x)}\end{aligned}}\right.$
Remarques et interprétations
Soit $f$ est une fonction de domaine de définition $D_f$ telle que sa courbe représentative dans un repère cartésien admet un centre de symétrie $I(a;b)$
🔶 Si $a=b=0$ on retrouve le cas d'une fonction impaire.
🔶 Le domaine de définition de $f$ est symétrique par rapport à $a$.
🔶 L'ensemble des valeurs de $f$ c-à-d $\left\{{f(x) / x\in D_f}\right\}$ est symétrique par rapport à $b$.
🔶 Si $a\in D_f$, pour $x=a$ on a : $f(2a-a)=2b-f(a)$ $\Longrightarrow b=f(a)$
Le point I est un centre de symétrie pour la courbe.
M est un point quelconque de la courbe et M' son symétrique par rapport à I.
Vous pouvez faire glisser le point M sur la courbe.
Vous pouvez faire glisser le point M sur la courbe.
Exemple 1
✍
Considérons la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{x^3-4x^2+5x-4}{(x-1)(x-3)}$
. On note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Montrer que la courbe $𝒞$ admet un centre de symétrie que l'on précisera.
. On note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Montrer que la courbe $𝒞$ admet un centre de symétrie que l'on précisera.
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Exemple 2✍
Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : $f(x)=x^3-3x^2+4$.
On note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère quelconque du plan.
Montrer que la courbe $𝒞$ admet un centre de symétrie que l'on précisera.
On note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère quelconque du plan.
Montrer que la courbe $𝒞$ admet un centre de symétrie que l'on précisera.
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3
Variations d'une fonction
☛ Théorème 1
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si la dérivée de f est strictement positive sur I, alors la fonction f est strictement croissante sur I.
Si la dérivée de f est strictement négative sur I, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
Si la dérivée de f est strictement positive sur I, alors la fonction f est strictement croissante sur I.
Si la dérivée de f est strictement négative sur I, alors la fonction f est strictement décroissante sur I.
☛ Théorème 2
Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I.
Si f ' est positive et ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans I, alors f est strictement croissante sur I.
Si f ' est négative et ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans I, alors f est strictement décroissante sur I.
Si f ' est positive et ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans I, alors f est strictement croissante sur I.
Si f ' est négative et ne s’annule sur aucun intervalle ouvert contenu dans I, alors f est strictement décroissante sur I.
Exemple✍
On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $I=\left[{0;\dfrac{\pi}{2}}\right]$ par : $f(x)=\cos 2x$.
Déterminer le sens de variation de f sur $I$.
Déterminer le sens de variation de f sur $I$.
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4
Point d'inflexion
☛ Définition
Un point d'inflexion d'une courbe est un point où la tangente (éventuellement verticale) traverse la courbe ou encore c'est un point où la courbe change de concavité.
Remarques
La dérivabilité en $a$ n'est pas nécessaire pour que le point $I(a,f(a))$ soit un point d'inflexion. (voir la 2ème courbe suivante)
☛ Théorème
Soit $f$ une fonction deux fois dérivable sur un intervalle ouvert I contenant un réel a.
Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe alors le point $I(a;f(a))$ est un point d'inflexion pour la courbe représentative de $f$.
Si $f''$ s'annule en $a$ en changeant de signe alors le point $I(a;f(a))$ est un point d'inflexion pour la courbe représentative de $f$.
Exemple
✍
Soit $f$ la fonction définie par : $f(x)=x^4-4x^3$
On note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère cartésien du plan.
Montrer que la courbe $𝒞$ admet deux points d'inflexion que l'on précisera.
On note $𝒞$ sa courbe représentative dans un repère cartésien du plan.
Montrer que la courbe $𝒞$ admet deux points d'inflexion que l'on précisera.
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5
Branches infinies
On dit que la courbe représentative d'une fonction $f$ admet une branche infinie si
- Le domaine de définition de $f$ contient un voisinage de $-\infty$ ou de $+\infty$
- $f$ admet une limite infinie à gauche ou à droite d'un réel $x_0$
Asymptote parallèle à l'axe des abscisses
☛ Définition
Soit $f$ une fonction et $𝒞$ sa courbe représentative.
Lorsque $f$ admet une limite finie $b$ en $+\infty$ ou en $-\infty$, on dit que la droite d'équation $y=b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
Lorsque $f$ admet une limite finie $b$ en $+\infty$ ou en $-\infty$, on dit que la droite d'équation $y=b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
Remarques
Si $f(x)-b\geqslant 0$ alors la courbe est au dessus de l'asymptote.Si $f(x)-b\leqslant 0$ alors la courbe $𝒞$ est au dessous de l'asymptote.
Exemple 1✍
Considérons la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{2x^2+x+1}{x^2+1}$
$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2$ donc la droite $\Delta$ d'équation $y=2$ est une asymptote à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $-\infty$.
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2$ donc la droite $\Delta$ est aussi une asymptote à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $+\infty$.
$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2$ donc la droite $\Delta$ d'équation $y=2$ est une asymptote à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $-\infty$.
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2x^2}{x^2}=2$ donc la droite $\Delta$ est aussi une asymptote à la courbe représentative de $f$ au voisinage de $+\infty$.
Exemple 2✍
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+6}}$
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ $=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2\left({1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}\right)}}$ $=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x\left({2+\dfrac{1}{x}}\right)}{|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}$ $=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}=2$ donc la droite d'équation $y=2$ est une asymptote à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$
$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$ $=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2\left({1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}\right)}}$ $=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{x\left({2+\dfrac{1}{x}}\right)}{|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}$ $=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}=-2$ donc la droite d'équation $y=-2$ est une asymptote à la courbe de $f$ au voisinage de $-\infty$
🔶$f(x)-2=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+6}}-2$ $=\dfrac{2x+1-2\sqrt{x^2+x+6}}{\sqrt{x^2+x+6}}< 0$ donc la courbe $𝒞$ est au dessous de l'asymptote d'équation $y=2$
🔶$f(x)+2=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+6}}+2$ $=\dfrac{2x+1+2\sqrt{x^2+x+6}}{\sqrt{x^2+x+6}}$ $=\dfrac{\sqrt{(2x+1)^2+23}+(2x+1)}{\sqrt{x^2+x+6}}$ $=\dfrac{23}{\sqrt{x^2+x+6}\left({\sqrt{(2x+1)^2+23}-(2x+1)}\right)}>0$ donc la courbe $𝒞$ est au dessus de l'asymptote d'équation $y=-2$
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)$ $=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2\left({1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}\right)}}$ $=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x\left({2+\dfrac{1}{x}}\right)}{|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}$ $=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}=2$ donc la droite d'équation $y=2$ est une asymptote à la courbe de $f$ au voisinage de $+\infty$
$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)$ $=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2\left({1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}\right)}}$ $=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{x\left({2+\dfrac{1}{x}}\right)}{|x|\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}$ $=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{6}{x^2}}}=-2$ donc la droite d'équation $y=-2$ est une asymptote à la courbe de $f$ au voisinage de $-\infty$
Positions de la courbe par rapport aux asymptotes
Pour tout réel $x$; $2\sqrt{x^2+x+6}-(2x+3)$ $=\sqrt{(2x+1)^2+23}-(2x+1)$ $>\sqrt{(2x+1)^2}-(2x+1)$ or $\sqrt{(2x+1)^2}-(2x+1)$ $=|2x+1|-(2x+1)\geqslant 0$ donc $2\sqrt{x^2+x+6}-(2x+1)> 0$🔶$f(x)-2=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+6}}-2$ $=\dfrac{2x+1-2\sqrt{x^2+x+6}}{\sqrt{x^2+x+6}}< 0$ donc la courbe $𝒞$ est au dessous de l'asymptote d'équation $y=2$
🔶$f(x)+2=\dfrac{2x+1}{\sqrt{x^2+x+6}}+2$ $=\dfrac{2x+1+2\sqrt{x^2+x+6}}{\sqrt{x^2+x+6}}$ $=\dfrac{\sqrt{(2x+1)^2+23}+(2x+1)}{\sqrt{x^2+x+6}}$ $=\dfrac{23}{\sqrt{x^2+x+6}\left({\sqrt{(2x+1)^2+23}-(2x+1)}\right)}>0$ donc la courbe $𝒞$ est au dessus de l'asymptote d'équation $y=-2$
Asymptote parallèle à l'axe des ordonnées
☛ Définition
Soit $f$ une fonction et $𝒞$ sa courbe représentative.
Lorsque $f$ admet une limite infinie à gauche ou à droite en un réel a, on dit que la droite d'équation $x=a$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
Lorsque $f$ admet une limite infinie à gauche ou à droite en un réel a, on dit que la droite d'équation $x=a$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
Exemple 1
✍
Soit la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{x^2+2x-1}{x^2-1}$ et on note $𝒞$ sa courbe représentative.
🔶$\lim\limits_{x \to 1^+}f(x)="\dfrac{2}{0^+}"=+\infty$ donc la droite d'équation $x=1$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
🔶 $\lim\limits_{x \to -1^+}f(x)="\dfrac{-2}{0^-}"=+\infty$ donc la droite d'équation $x=-1$ est une asymptote à la courbe $𝒞$
🔶$\lim\limits_{|x| \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{|x| \to +\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=1$ donc la droite d'équation $y=1$ est aussi une asymptote à la courbe $𝒞$ au voisinage de $+\infty$ et au voisinage de $-\infty$
🔶$\lim\limits_{x \to 1^+}f(x)="\dfrac{2}{0^+}"=+\infty$ donc la droite d'équation $x=1$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
🔶 $\lim\limits_{x \to -1^+}f(x)="\dfrac{-2}{0^-}"=+\infty$ donc la droite d'équation $x=-1$ est une asymptote à la courbe $𝒞$
🔶$\lim\limits_{|x| \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{|x| \to +\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=1$ donc la droite d'équation $y=1$ est aussi une asymptote à la courbe $𝒞$ au voisinage de $+\infty$ et au voisinage de $-\infty$
Exemple 2✍
Soit la fonction $f$ définie sur $\R╲\left\{{-\sqrt{5};\sqrt{5}}\right\}$ par : $f(x)=\dfrac{x}{\sqrt{|x^2-5|}}$. On note $𝒞$ sa courbe représentative.
🔶$\lim\limits_{x \to \sqrt{5}}f(x)="\dfrac{\sqrt{5}}{0^+}"=+\infty$ donc la droite d'équation $x=\sqrt{5}$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
🔶$\lim\limits_{x \to -\sqrt{5}}f(x)="\dfrac{-\sqrt{5}}{0^+}"=-\infty$ donc la droite d'équation $x=-\sqrt{5}$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
🔶 Déterminer les deux autres asymptotes à la courbe $𝒞$.
🔶$\lim\limits_{x \to \sqrt{5}}f(x)="\dfrac{\sqrt{5}}{0^+}"=+\infty$ donc la droite d'équation $x=\sqrt{5}$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
🔶$\lim\limits_{x \to -\sqrt{5}}f(x)="\dfrac{-\sqrt{5}}{0^+}"=-\infty$ donc la droite d'équation $x=-\sqrt{5}$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
🔶 Déterminer les deux autres asymptotes à la courbe $𝒞$.
Asymptote oblique
☛ Définition
Soit $f$ une fonction et $𝒞$ sa courbe représentative.
On dit que la droite $D$ d'équation $y=ax+b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$ si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)-(ax+b)=0$ ou $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)-(ax+b)=0$
On dit que la droite $D$ d'équation $y=ax+b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$ si $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)-(ax+b)=0$ ou $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)-(ax+b)=0$
Remarques
🔹Si on peut écrire $f(x)$ sous la forme $f(x)=ax+b+\phi(x)$ où $\lim\limits_{x \to \pm\infty}\phi(x)=0$ alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.🔹Le signe de $f(x)-(ax+b)$ détermine la position de la courbe $𝒞$ par rapport à l'asymptote $D$.
☛ Théorème
Soit $f$ une fonction et $𝒞$ sa courbe représentative.
La droite $D$ d'équation $y=ax=b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$ si et seulement si
$\left\{{\begin{aligned}&{\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a}\\&{\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)-ax=b}\end{aligned}}\right.$ ou $\left\{{\begin{aligned}&{\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a}\\&{\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)-ax=b}\end{aligned}}\right.$
La droite $D$ d'équation $y=ax=b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$ si et seulement si
$\left\{{\begin{aligned}&{\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a}\\&{\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)-ax=b}\end{aligned}}\right.$ ou $\left\{{\begin{aligned}&{\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=a}\\&{\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)-ax=b}\end{aligned}}\right.$
Exemple 1✍
Soit la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x)=\dfrac{x^3+2x-3}{x^2+x+1}$
Montrer que la courbe représentative $𝒞$ de $f$ admet une asymptote oblique que l'on précisera.
Montrer que la courbe représentative $𝒞$ de $f$ admet une asymptote oblique que l'on précisera.
Cliquer ici pour montrer les solutions
Exemple 2✍
Soit $f$ la fonction définie sur $\left]{-\infty;-3}\right]\cup\left[{1;+\infty}\right[$ par : $f(x)=\sqrt{x^2+2x-3}$
Déterminer les asymptotes éventuelles à la courbe représentative $𝒞$ de $f$.
Déterminer les asymptotes éventuelles à la courbe représentative $𝒞$ de $f$.
Cliquer ici pour montrer les solutions
Direction asymptotique
On suppose que $f(x)$ tend vers l'infini quand $x$ tend vers l'infini.
On étudie alors la limite de $\dfrac{f(x)}{x}$ quand $x$ tend vers $+\infty\; ou \;-\infty$.
🔶 $\dfrac{f(x)}{x}$ à une limite infinie.
On dit dans ce cas que la courbe $𝒞$ admet une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec j)$.
$\lim\limits_{x \to +\infty}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$
Donc la courbe $𝒞$ admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec j)$.
De même en $-\infty$
On dit dans ce cas que la courbe $𝒞$ admet une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec j)$.
Exemple :
$f(x)=x^3+x-2$$\lim\limits_{x \to +\infty}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$
Donc la courbe $𝒞$ admet en $+\infty$ une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec j)$.
De même en $-\infty$
🔶 $\dfrac{f(x)}{x}$ à une limite finie $a$.
🔷 1er cas : $\colorbox{Salmon}{$a=0$}$
On dit dans ce cas que la courbe $𝒞$ admet une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec i)$
🔷 1er cas : $\colorbox{Salmon}{$a=0$}$
On dit dans ce cas que la courbe $𝒞$ admet une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec i)$
Exemple :
$f(x)=\sqrt{x}$. On a $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{1}{\sqrt{x}}=0$ donc la courbe $𝒞$ admet une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec i)$.
🔷 2ème cas : $\colorbox{Salmon}{$a\neq 0$}$
On étudie alors la limite de $f(x)-ax$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.
On a trois possibilités
➤ $f(x)-ax$ a une limite finie $b$
Alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
➤ $f(x)-ax$ a une limite infinie
On dit que la courbe $𝒞$ admet une branche parabolique de direction celle de la droite d'équation $y=ax$.
➤ $f(x)-ax$ n'a pas de limite.
Dans ce cas la courbe $𝒞$ n'admet ni asymptote ni branche parabolique mais on dit que $𝒞$ admet une direction asymptotique celle de la droite d'équation $y=ax$.
🔶$\dfrac{f(x)}{x}$ n'a pas de limite.
Dans ce cas $𝒞$ n'admet ni asymptote ni branche parabolique ni direction asymptotique.
On étudie alors la limite de $f(x)-ax$ quand $x$ tend vers $+\infty$ ou $-\infty$.
On a trois possibilités
➤ $f(x)-ax$ a une limite finie $b$
Alors la droite d'équation $y=ax+b$ est une asymptote à la courbe $𝒞$.
➤ $f(x)-ax$ a une limite infinie
On dit que la courbe $𝒞$ admet une branche parabolique de direction celle de la droite d'équation $y=ax$.
➤ $f(x)-ax$ n'a pas de limite.
Dans ce cas la courbe $𝒞$ n'admet ni asymptote ni branche parabolique mais on dit que $𝒞$ admet une direction asymptotique celle de la droite d'équation $y=ax$.
🔶$\dfrac{f(x)}{x}$ n'a pas de limite.
Dans ce cas $𝒞$ n'admet ni asymptote ni branche parabolique ni direction asymptotique.
Exemple 1 :
$f(x)=x-\sqrt{x}$. $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ ; $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=\lim\limits_{x \to +\infty}\left({1-\dfrac{1}{\sqrt{x}}}\right)=1$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)-x=-\infty$. Donc la courbe $𝒞$ admet une branche parabolique de direction celle de la droite d'équation $y=x$.
Exemple 2 :
$f(x)=x+sin(2\pi x)$. Pour tout réel $x$, $x-1\leqslant f(x)\leqslant x+1$ donc $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{f(x)}{x}=1$ alors que $f(x)-x$ n'a pas de limite en $+\infty$.Donc la courbe $𝒞$ admet une direction asymptotique celle de la droite d'équation $y=x$
II.
Exemples de fonctions polynômes
1
Exemple 1On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Etude des variations
❖Pour tout réel $x$, $f'(x)\geqslant 0$ et $f'$ s'annule seulement pour $x=1$ donc $f$ est strictement croissante sur $\R$.
❖ $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$.
Traçage de la courbe
❖ $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ donc la courbe $𝒞$ admet, en $-\infty$ une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec j)$.
❖ $f'(x)=0$ $\Longleftrightarrow x=1$ donc la courbe $𝒞$ admet au point de coordonnées $(1,0)$ une tangente horizontale.
❖ $f(x)=0$ $\Longleftrightarrow x=1$ donc la courbe $𝒞$ coupe l'axe des abscisses au point de coordonnées $(1,0)$.
❖ $f(0)=-1$ donc la courbe $𝒞$ coupe l'axe des ordonnées au point de coordonnées $(0,-1)$.
2
Exemple 2On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Etude des variations
❖ $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}x^3=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}x^3=-\infty$
❖ $f'(x)=0$ $\Longleftrightarrow x=0\;ou\;x=2$
Le signe de $f'$ est celui de $x(x-2)$.
D'où le tableau de variation de $f$.
Traçage de la courbe
❖ $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{f(x)}{x}=+\infty$ donc la courbe $𝒞$ admet, en $-\infty$ une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec j)$.
❖ S'il est possible, il est utile de résoudre l'équation $f(x)=0$ pour déterminer les points d'intersection de la courbe $𝒞$ avec l'axe des abscisses.
Dans notre cas, il suffit de remarquer que $f(1)=0$, ce qui permet d'écrire $f(x)$ sous la forme suivante:
$f(x)=x^3-x^2-2x^2+2$ $\Longleftrightarrow f(x)=x(x^2-1)-2(x^2-1)$ $\Longleftrightarrow f(x)=(x^2-1)(x-2)$.
Alors $f(x)=0$ $\Longleftrightarrow x=-1\;ou\;x=1\;ou\;x=2$ donc la courbe $𝒞$ coupe l'axe $(O,\vec i)$ aux points d'abscisses $-1,1\;et\;2$
3
Exemple 3On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Etude des variations
❖ $f'(x)=0$ $\Longleftrightarrow x=0\;ou\;x=1\;ou\;x=-2$
❖ Il suffit de faire un tableau de signe pour voir que:
$\forall x \in ]-\infty;-2]\cup [0;1]$; $f'(x)\leqslant 0$ donc $f$ est décroissante sur $]-\infty;-2]$ et sur $\left[{0;1}\right]$
$\forall x\in \left[{-2;0}\right]\cup\left[{1;+\infty}\right[$; $f'(x)\geqslant 0$ donc $f$ est croissante sur $\left[{-2;0}\right]$ et sur $\left[{1;+\infty}\right[$
❖ $\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x^4}{4}=+\infty$ et $\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{x^4}{4}=+\infty$
D'où le tableau de variation de $f$.
Traçage de la courbe
De même on montre que $𝒞$ admet en $-\infty$ une branche parabolique de direction celle de $(O,\vec j)$.
4
Courbe dynamique (polynôme de degré 3)
Courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 3 passant par trois points.
Faites glisser l'un des trois points A, B ou C pour modifier la courbe
Faites glisser l'un des trois points A, B ou C pour modifier la courbe
III.Exemples de fonctions rationnelles
1
Exemple 1On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Pour tout réel $x;\quad x^2-2x+2\neq 0$ (car $\Delta=-4<0$) donc $D_f=\R$
Etude des variations
$f'(x)=0$ $\Longleftrightarrow x(-x+2)=0$ $\Longleftrightarrow x=0\;ou\;x=2$
$\lim\limits_{|x| \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{|x| \to +\infty}\dfrac{x^2}{x^2}=1$
D'où le tableau de variation de $f$.
Traçage de la courbe
❖ $f'(0)=0\;et\;f'(2)=0$ donc la courbe $𝒞$ admet deux tangentes horizontales aux points de coordonnées $\left({0;\dfrac{1}{2}}\right)\;et\;\left({2;\dfrac{3}{2}}\right)$
$f(x)=1\Longleftrightarrow x=1$ donc la courbe $𝒞$ coupe son asymptote au point de coordonnées $(1;1)$.
Remarque
On peut vérifier que le point $I(1;1)$ est un centre de symétrie et aussi un point d'inflexion pour la courbe $𝒞$.2
Exemple 2On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Etude des variations
$f$ est une fonction rationnelle donc elle est continue et dérivable sur son domaine de définition $D_f$.
On peut vérifier facilement que $f$ est une fonction impaire donc on peut l'étudier seulement sur $\R_+╲\left\{{1}\right\}$.
Pour tout réel $x\in D_f$; $f'(x)=\dfrac{(3x^2-3)(x^2-1)-2x(x^3-3x)}{(x^2-1)^2}$ $=\dfrac{3x^4-3x^2-3x^2+3-2x^4+6x^2}{(x^2-1)^2}$ $=\dfrac{x^4+3}{(x^2-1)^2}$ donc $f'(x)>0$ et $f$ strictement croissante sur chacun des intervalles $\left]{-\infty;-1}\right[,\;\left]{-1;1}\right[$ et $\left]{1;+\infty}\right[$.
$\lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{x^3}{x^2}$ $=\lim\limits_{x \to +\infty}x=+\infty$ , $\lim\limits_{x \to 1^+}f(x) ="\dfrac{-2}{0^+}"=-\infty$ et $\lim\limits_{x \to 1^-}f(x)="\dfrac{-2}{0^-}"=+\infty$ d'où le tableau de variation de $f\; sur\; \left[{0;+\infty}\right[$.
Traçage de la courbe
❖ $\lim\limits_{x \to 1^+}f(x)=-\infty$ donc la droite d'équation $x=1$ est une asymptote à la courbe $𝒞$
❖ $f(x)=0 \Longleftrightarrow x(x^2-3)=0$ $\Longleftrightarrow x=0\;ou\;x=-\sqrt{3}\;ou\;x=\sqrt{3}$ donc la courbe $𝒞$ coupe l'axe des abscisses aux points de coordonnées $(0;0),\;(-\sqrt{3};0)$ et $(\sqrt{3};0)$.
❖On trace les branches de la courbe $𝒞$ Correspondants à $\R ╲\left\{{1}\right\}$ et on termine le reste par symétrie par rapport au point O car $f$ est une fonction paire.
Remarques
❖On peut écrire $f(x)$ sous la forme $f(x)=x-\dfrac{3}{2(x-1)}-\dfrac{3}{2(x+1)}$ pour déterminer facilement $f'(x)$, le sens de variation et la recherche de l'asymptote oblique.❖ On peut vérifier aussi que le point O est un point d'inflexion pour la courbe $𝒞$.
IV.Exemples de fonctions irrationnelles
1
Exemple 1On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Pour tout réel $x;\quad 4-x^2\geqslant 0$ $\Longleftrightarrow x^2\leqslant 4 \Longleftrightarrow |x|\leqslant 2$ $\Longleftrightarrow -2\leqslant x \leqslant 2$ donc $D_f=\left[{-2;2}\right]$
Etude des variations
Pour tout réel $x\in \left]{-2;2}\right[,$ $f'(x)=1-\dfrac{-2x}{2\sqrt{4-x^2}}=1+\dfrac{x}{\sqrt{4-x^2}}$
Pour $x\in \left[{0;\sqrt{2}}\right[,\;f'(x)>0$
Pour $x\in \left]{-\sqrt{2};0}\right],\;$ $f'(x)=\dfrac{\sqrt{4-x^2}+x}{\sqrt{4-x^2}}$ $=\dfrac{2(2-x^2)}{\sqrt{4-x^2}\left({\sqrt{4-x^2}-x}\right)}$. Mais pour $x\in \left]{-\sqrt{2};0}\right],\;\sqrt{4-x^2}-x>0$ donc le signe de $f'(x)$ et celui de $2-x^2$.
$\left\{{\begin{aligned}&{2-x^2=0}\\&{x\in \left]{-\sqrt{2};0}\right]}\end{aligned}}\right.\Longleftrightarrow x=-\sqrt{2}$
❖ $\lim\limits_{x \to 2^-}\dfrac{f(x)-f(2)}{x-2}$ $=\lim\limits_{x \to 2^-}\dfrac{x-\sqrt{4-x^2}-2}{x-2}$ $=\lim\limits_{x \to 2^-}\dfrac{(x-2)-\sqrt{4-x^2}}{x-2}$ $=\lim\limits_{x \to 2^-}1-\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x-2}$ $=\lim\limits_{x \to 2^-}1-\dfrac{4-x^2}{(x-2)\sqrt{4-x^2}}$ $=\lim\limits_{x \to 2^-}1-\dfrac{(2-x)(2+x)}{(x-2)\sqrt{4-x^2}}$ $=\lim\limits_{x \to 2^-}1+\dfrac{2+x}{\sqrt{4-x^2}}$ $="1+\dfrac{4}{0^+}"=+\infty$ donc $f$ n'est pas dérivable à gauche en 2 et la courbe $𝒞$ admet une demi-tangente verticale au point de coordonnées $(2,2)$
❖ $\lim\limits_{x \to -2^+}\dfrac{f(x)-f(-2)}{x+2}$ $=\lim\limits_{x \to -2^+}\dfrac{x-\sqrt{4-x^2}+2}{x+2}$ $=\lim\limits_{x \to -2^+}\dfrac{(x+2)-\sqrt{4-x^2}}{x+2}$ $=\lim\limits_{x \to -2^+}1-\dfrac{\sqrt{4-x^2}}{x+2}$ $=\lim\limits_{x \to -2^+}1-\dfrac{4-x^2}{(x+2)\sqrt{4-x^2}}$ $=\lim\limits_{x \to -2^+}1-\dfrac{(2-x)(2+x)}{(x+2)\sqrt{4-x^2}}$ $=\lim\limits_{x \to -2^+}1-\dfrac{2-x}{\sqrt{4-x^2}}$ $="1-\dfrac{4}{0^+}"=-\infty$ donc $f$ n'est pas dérivable à droite en -2 et la courbe $𝒞$ admet une demi-tangente verticale au point de coordonnées $(-2,-2)$
Traçage de la courbe
Exercice
Soit $g$ la fonction définie par $g(x)=x+\sqrt{4-x^2}$
On note $𝒞'$ sa courbe représentative dans le repère $(O,\vec i,\vec j)$ (voir l'exemple précèdent.)
1) Par quelle transformation peut on déduire la courbe $𝒞'$ à partir de la courbe $𝒞$?
2) On pose $\Gamma=𝒞\cup 𝒞'$
Donner une équation cartésienne de la courbe $\Gamma$.
3) On pose $\vec I=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left({\vec i+\sqrt{2}\vec j}\right)$ et $\vec J=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left({-\vec i+\sqrt{2}\vec j}\right)$
a) Soit $M$ un point du plan de coordonnées $(x,y)\;et\;(X,Y)$ respectivement dans les repères $(O,\vec i,\vec j)$ et $(O,\vec I,\vec J)$.
Véfifier que $\left\{{\begin{aligned}&{x=\dfrac{X-Y}{\sqrt{3}}}\\&{y=\dfrac{\sqrt{2}(X+Y)}{\sqrt{3}}}\end{aligned}}\right.$
b) Montrer alors que la courbe $\Gamma$ admet pour équation $\dfrac{X^2}{3(2+\sqrt{2})}+\dfrac{Y^2}{3(2-\sqrt{2})}=1$ dans le repère $(O,\vec I,\vec J)$
On note $𝒞'$ sa courbe représentative dans le repère $(O,\vec i,\vec j)$ (voir l'exemple précèdent.)
1) Par quelle transformation peut on déduire la courbe $𝒞'$ à partir de la courbe $𝒞$?
2) On pose $\Gamma=𝒞\cup 𝒞'$
Donner une équation cartésienne de la courbe $\Gamma$.
3) On pose $\vec I=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left({\vec i+\sqrt{2}\vec j}\right)$ et $\vec J=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\left({-\vec i+\sqrt{2}\vec j}\right)$
a) Soit $M$ un point du plan de coordonnées $(x,y)\;et\;(X,Y)$ respectivement dans les repères $(O,\vec i,\vec j)$ et $(O,\vec I,\vec J)$.
Véfifier que $\left\{{\begin{aligned}&{x=\dfrac{X-Y}{\sqrt{3}}}\\&{y=\dfrac{\sqrt{2}(X+Y)}{\sqrt{3}}}\end{aligned}}\right.$
b) Montrer alors que la courbe $\Gamma$ admet pour équation $\dfrac{X^2}{3(2+\sqrt{2})}+\dfrac{Y^2}{3(2-\sqrt{2})}=1$ dans le repère $(O,\vec I,\vec J)$
2
Exemple 2
On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère cartésien $(O,\vec i,\vec j)$.
Pour tout réel $x;\;x^2+x+3> 0$ car son descriminant $\Delta=-11<0$ donc $D_f=\R$
Etude des variations
Pour tout réel x; $$\begin{align*} f'(x)&=\dfrac{2\sqrt{x^2+x+3}-\dfrac{(2x+1)^2}{2\sqrt{x^2+x+3}}}{x^2+x+3}\\ &=\dfrac{4x^2+4x+12-4x^2-4x-1}{2(x^2+x+3)\sqrt{x^2+x+3}}\\ &=\dfrac{11}{2(x^2+x+3)\sqrt{x^2+x+3}}>0 \end{align*}$$ Donc $f$ est strictement croissante sur $\R$ $$\begin{align*} & ❖ \lim\limits_{x \to +\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}}}=2\\ &\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=\lim\limits_{x \to -\infty}\dfrac{2+\dfrac{1}{x}}{-\sqrt{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{3}{x^2}}}=-2 \end{align*}$$
Traçage de la courbe
❖$\lim\limits_{x \to -\infty}f(x)=-2$ donc la droite d'équation $y=-2$ est une asymptote à la courbe $𝒞$ au voisinage de $-\infty$.
Remarques
On peut montrer que le point de coordonnées $\left({\dfrac{-1}{2};0}\right)$ est un centre de symétrie (et aussi point d'inflexion) pour la courbe $𝒞$ V.Exemples de fonctions trigonométriques
1
Exemple 1On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
$f$ est paire et périodique de période $2\pi$ donc on restreint son étude à l'intervalle $\left[{0;\pi}\right]$, on trace la courbe Correspondant à cet intervalle et on complète par la symétrie orthogonale d'axe $(O,\vec j)$ et puis par les translations de vecteurs $2k\pi\vec i$ où $k\in\Z$.
Etude des variations
❖ Pour tout réel $x\in \left[{0;\pi}\right],f'(x)=0$ $\Longleftrightarrow \sin x=0\;ou\;\cos x=\dfrac{1}{2}$ $\Longleftrightarrow x=0\;ou\;x=\pi\;ou\;x=\dfrac{\pi}{3}$.
❖ Pour tout réel $x\in \left[{0;\pi}\right],\;\sin x\geqslant 0$.
$x\in \left[{0;\dfrac{\pi}{3}}\right]\Longrightarrow 2\cos x-1\geqslant 0$.
$x\in \left[{\dfrac{\pi}{3};\pi}\right]\Longrightarrow 2\cos x-1\leqslant 0$.
D'où le tableau de variation de $f$.
Traçage de la courbe
❖ Pour tout réel x et pour tout entier k; $f(2k\pi-x)=f(x)$ donc toute droite d'équation $x=k\pi$ est un axe de symétrie pour la courbe $𝒞$.
2
Exemple 2On note $𝒞$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormé $(O,\vec i,\vec j)$.
$f(x)$ existe $\Longleftrightarrow 1+\cos x \neq 0$ $\Longleftrightarrow \cos x\neq -1$ $\Longleftrightarrow x\neq (2k+1)\pi$ où $k\in\Z$ donc $\boxed{D_f=\R╲\left\{{(2k+1)\pi\;,\;k\in\Z}\right\}}$
$f$ est périodique de période $2\pi$ donc on restreint son étude à l'intervalle $\left]{-\pi;\pi}\right[$, on trace la courbe Correspondant à cet intervalle et on complète par les translations de vecteurs $2k\pi\vec i$ où $k\in\Z$.
Etude des variations
Traçage de la courbe
❖ $\lim\limits_{x \to -\pi^+}f(x)=+\infty$ donc la droite d'équation $x=-\pi$ est une asymptote à la courbe $𝒞$
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