Arithmetique : Exercice 10 2ème année secondaire

1) $$\begin{align*} (n+3)(an+b)&=an^2+bn+3an+3b \\ &=an^2+(b+3a)n+3b \end{align*}$$ $$\begin{align*} &\forall n\in \Bbb N; A=(n+3)(an+b) \\ &\text{équivaut}\;\; 3n^2+7n-6=an^2+(b+3a)n+3b \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{a=3}\\&{b+3a=7}\\&{3b=-6}\end{aligned}}\right. \\ &\text{équivaut}\;\; \left\{{\begin{aligned}&{a=3}\\&{b=\frac{-6}{3}=-2}\\&{b+3a=-2+9=7\;\; vrai}\end{aligned}}\right.\\ &\text{Donc}\;\;\boxed{\forall n\in \Bbb N;A=(n+3)(3n-2)} \end{align*}$$

2) $\dfrac{3n^2+7n}{n+3}=\dfrac{A+6}{n+3}=\dfrac{A}{n+3}+\dfrac{6}{n+3}=(3n-2)+\dfrac{6}{n+3}$
$\dfrac{3n^2+7n}{n+3}$ est un entier naturel équivaut $\dfrac{6}{n+3}$ est un entier naturel équivaut n+3 divise 6 et $n\in \Bbb N$ équivaut $n+3=6$ (car $n+3\geqslant 4$) équivaut $\boxed{n=3}$