Question 36: Soit $f$ une fonction telle que pour tous réels $x$ et $y$;
$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$
Montrer que si $f(0)\not =0$ alors $f$ est une fonction paire.
Soit $f$ une fonction telle que pour tous réels $x$ et $y$;
$f(x+y)+f(x-y)=2f(x)f(y)$
Montrer que si $f(0)\not =0$ alors $f$ est une fonction paire.
SigMathS
Réponse 36: Si $x=y=0$ alors $f(0)+f(0)=2f(0)^2$
$\iff f(0)(f(0)-1)=0$ $\iff \boxed{f(0)=1}$ car $f(0)\not = 0$
D'autre part, pour $x=0$ on obtient :
$f(y)+f(-y)=2f(y)$ $\iff f(-y)=f(y)$ pour tout réel $y$ Donc $f$ est paire